Tương giao của hàm bậc ba và đường thẳng

TƯƠNG GIAO CỦA HÀM BẬC BA VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán tổng quát: Cho đồ thị hàm số y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (với a, b, c, d phụ thuộc vào tham số). Tìm giá trị của tham số để đồ thị cắt đường thẳng y = αx +  β (hoặc trục Ox) tại 3 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và đường thẳng là:

ax³ + bx² + cx + d = αx +  β ⇔ ax³ + bx² +(c – α)x + d -  β = 0 (*)

Giả sử ta đoán trước được phương trình (*) có một nghiệm x = x_0­  (*)

Khi đó (*) phân tích thành:

Giả sử đường thẳng cắt đồ thị tại 3 điểm phân biệt A(x_A, y_A) với x_A = x₀ và hai điểm B, C với x_B, x_C là nghiệm của phương trình g(x) = 0.

Bước 2: Từ điều kiện cho trước ta biến đổi theo tổng và tích các nghiệm thay tổng và tích vào từ đó dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình nay ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (**) và kết luận.

được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (**) và kết luận.

VÍ DỤ MINH HỌA

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x³ – 2x² + (1 – m)x + m (1), với m là tham số thực. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ x₁, x₂, x₃ thỏa mãn điều kiện .

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (1) và trục Ox là

x³ – 2x² + (1 – m)x + m = 0 (2)

Ví dụ 2: Cho hàm số y = x³ + 3mx² + (m+3)x + 4 có đồ thị là (C_m). Cho E(1; 3) và đường thẳng ∆ có phương trình x – y + 4 = 0. Tìm m để ∆ cắt (C_m) tại ba điểm phân biệt A, B, C (với x_A = 0) sao cho tam giác EBC có diện tích bằng 4.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm là: x³ + 3mx² + (m+3)x + 4 = x + 4 (1)

Ví dụ 3: Cho hàm số y = x³ - 2mx² + 2mx -1 (1). Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt A(1;0), B và C sao cho K₁ + K₂ = BC. . Trong đó K₁, K₂ lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến tại B và C của đồ thị hàm số (1).

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục Ox là:

x³ - 2mx² + 2mx -1=0 ⇔ (x – 1)[x² + (1 – 2m)x + 1] = 0

Ví dụ 4: Cho hàm số y = 2x³ - 3mx² + (m-1)x  + 1 (1). Tìm m để đường thẳng y = 2x + 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm A, B, C phân biệt thỏa mãn điểm C(0;1) nằm giữa A và B đồng thời đoạn thẳng AB có độ dài bằng

Giải

Hoành độ giao điểm của d và đồ thị (C_m) của hàm số: y = 2x³ - 3mx² + (m-1)x  + 1 là nghiệm của phương trình:

 2x³ - 3mx² + (m-1)x  + 1 = 2x + 1

Ví dụ 6: Cho hàm số y = x³ + mx² + 1 có đồ thị (C_m­). Tìm m để (C­_m) cắt d: y = -x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C_m) tại B  và vuông góc với nhau.

Giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C_m) là: