Sự tương giao của hàm trùng phương và đường thẳng

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HÀM TRÙNG PHƯƠNG VÀ ĐƯỜNG THẲNG

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = ax⁴ + bx² + c ( với a ≠ 0, a,b, c phụ thuộc tham số). Tìm giá trị của tham số m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng d (giả sử là trục Ox) tại 4 điểm phân biệt và thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Bước 1:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị và trục Ox là: ax⁴ + bx² + c = 0 (1)

Đặt t = x², (t ≥ 0). Khi đó ta được phương trình at² + bt + c = 0 (2).

Để đồ thị cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ (2) có hai nghiệm dương phân biệt thỏa mãn 0 < t₁ < t₂ ⇔\(\left\{\begin{matrix} \Delta (\Delta ')>0 & & \\ S>0 & & \\ P>0& & \end{matrix}\right.\)

⇔Giá trị tham số thuộc miền D nào đó (*)

Nhận xét: Phương trình (2) có hai nghiệm dương (giả sử 0 < t₁ <t₂ ), ứng với mỗi giá tri dương của t ta sẽ được 2 giá trị đối nhau của x tức là x =\(\pm \sqrt{x}\) . Khi đó phương trình (1) sẽ có 4 nghiệm phân biệt và các nghiệm này sắp xếp theo theo thứ  tự \(-\sqrt{t_{2}}<-\sqrt{t_{1}}<\sqrt{t_{1}}<\sqrt{t_{2}}\)(do tính chất đối xứng của hàm chẵn) với t₁, t₂ là nghiệm của phương trình (2).

Bước 2:

Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình hoặc một bất phương trình theo tham số, giải phương trình này ta được tham số sau đó đối chiếu với điều kiện (*) và kết luận.

Ví DỤ MINH HỌA