Tuyển tập tính chất chia hết của một tổng

 TUYỂN TẬP

TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

Bài 1. Chứng minh rằng :

\(\begin{array}{l}a)\;\;\;49{\rm{ }} + {\rm{ }}105{\rm{ }} + {\rm{ }}399\; \vdots 7\\b)\;\;\;84{\rm{ }} + {\rm{ }}48{\rm{ }} + {\rm{ }}120\;\not  \vdots {\rm{ }}8\\c)\;\;\;{2^5}.15{\rm{ }}-{\rm{ }}{2^6} \vdots 13\;\;\\d)\;\;\;{7^8} + {\rm{ }}{7^9} + {\rm{ }}{7^{10}} \vdots \;57\\e)\;\;\;{10^{10}}-{\rm{ }}{10^9}-{\rm{ }}{10^8} \vdots \;89\\f)\;\;\;\;{64^{10}}-{\rm{ }}{32^{11}}-{\rm{ }}{16^{13}} \vdots \;19\\g)\;\;\;{6^{100}}-{\rm{ }}1 \vdots \;5\\h)\;\;\;{21^{20}}-{\rm{ }}{11^{10}}\; \vdots 2{\rm{ }}\\{21^{20}}-{\rm{ }}{11^{10}} \vdots 5\end{array}\)

Bài 2 : Tìm số tự nhiên n sao cho

a)    n + 3\( \vdots \) n

b)    n + 3 \( \vdots \) n + 2

c)    2n + 9 \( \vdots \) n  - 3

d)    3n – 1 \( \vdots \) 3 – 2n

e)    15 – 4n \( \vdots \) n

f)     6n – 9\( \vdots \) n

g)    n + 13  \( \vdots \) n – 5

h)    15 – 2n \( \vdots \) n + 1

i)      6n + 9  \( \vdots \) 4n – 1

j)      \(\left[ {{{(x - 1)}^2} + 7} \right] \vdots (x - 1)\)  ( x\( \ne \) 1 )

k)    \(\left[ {{{(x + 2)}^2} - 4} \right] \vdots (x + 2)\)

l)      \(\left[ {{{(x + 2)}^2} - 42} \right] \vdots (x + 15)\)

m)  10^2k – 1 \( \vdots \) 19

n)    10^3k – 1 \( \vdots \) 19

• o)    2n + 3\( \vdots \) n + 2

p)    3n + 1 \( \vdots \) 11 – 2n

q)    n + 6 \( \vdots \) n + 2

r)     n( n + 8 )( n + 13) \( \vdots \) 3

s)     \(\overline {ab} \) - \(\overline {ba} \)\( \vdots \)11

t)      \(\overline {abc} \) + \(\overline {bca} \) + \(\overline {cab} \)\( \vdots \) 37

u)    Nếu \(\overline {abc} \)\( \vdots \)37 thì \(\overline {cab} \)\( \vdots \)37

v)    \(\overline {ab} \) - \(\overline {ba} \)\( \vdots \)9

w)  Nếu \(\overline {ab} \) + \(\overline {cd} \) \( \vdots \) 11 thì \(\overline {abcd} \) \( \vdots \) 11

x)    Nếu \(\overline {abc} \) - \(\overline {\deg } \)\( \vdots \) 13 thì \(\overline {abc\deg } \)\( \vdots \) 13

y)    Nếu \(\overline {abc} \)\( \vdots \) 7 thì ( 2a + 3b + c ) \( \vdots \)7

z)     Tìm chữ số a biết rằng \(\overline {20a20a20a} \)\( \vdots \)7

Bài 3:

a)    Chứng tỏ rằng hai số tự nhiên liên tiếp có một  số chia hết cho 2

b)    Chứng tỏ rằng ba số tự nhiên liên tiếp có một  số chia hết cho 3

c)    Chứng tỏ rằng bốn số tự nhiên liên tiếp có một  số chia hết cho 4

d)    Chứng tỏ rằng năm số tự nhiên liên tiếp có một  số chia hết cho 5

Bài 4:

a)    Chứng tỏ rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3 còn tổng của 4 số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4

b)    Chứng tỏ rằng tổng của 5 số tự nhiên chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10 còn tổng của 5 số lẻ liên tiếp chia cho 10 dư 5

c)    Cho 4 số tự nhiên không chia hết cho 5 , khi chia cho 5 được những số dư khác nhau . Chứng minh rằng tổng của chúng chia hết cho 5

d)    Chứng minh rằng không có số tự nhiên nào mà chia cho 15 dư 6 còn chia cho 9 thì dư 1

e)    Chứng minh rằng nếu tổng của hai số tự nhiên không chia hết cho 2 thì tích của chúng chia hết cho 2

f)     Nếu tổng của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tích của chúng có chia hết cho 2 không

g)    Chứng tỏ rằng với hai số tự nhiên bất kỳ khi chia cho m có cùng số dư thì hiệu của chúng chia hết cho m và ngược lại

h)    Chứng tỏ rằng với 6 số tự nhiên bất kỳ luôn có ít nhất hai số tự nhiên mà hiệu của chúng chia hết cho 5

i)      Chứng tỏ rằng tích của hai số chẵn liên tiếp luôn chia hết cho 8

j)      Chứng tỏ rằng tổng của hai số chẵn liên tiếp không chia hết cho 4

k)    Chứng tỏ rằng tổng của 5 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 5

Bài 5 : Khi chia số tự nhiên a cho 24 được số dư là 10. Hỏi số a có chia hết cho 2, cho 4 không ? Vì sao

Bài 6: Chứng tỏ rằng mọi số tự nhiên có 3 chữ số giống nhau đều chia hết cho 37