Bài tập nâng cao tính chất chia hết của một tổng

 LUYỆN TẬP

TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

Bài toán 1: Chứng minh rằng:

          a) \({5^5} - {5^4} + {5^3} \vdots 7\)                    b) \({7^6} + {7^5} - {7^4} \vdots 11\)                 c)  \({10^9} + {10^8} + {10^7} \vdots 222\)

          e) \({10^6} - {5^7} \vdots 59\)                    g) \({3^{n + 2}} - {2^{n + 2}} + {3^n} - {2^n} \vdots 10\forall n \in {N^*}\)

          h) \({81^7} - {27^9} - {9^{13}} \vdots 45\)              i) \({8^{10}} - {8^9} - {8^8} \vdots 55\)                k) \({10^9} + {10^8} + {10^7} \vdots 555\)

Bài toán 2: a) Viết các tổng sau thành một tích: \(2 + {2^2}\)  ; \(2 + {2^2} + {2^3}\) ;  \(2 + {2^2} + {2^3} + {2^4}\)

                     b) Chứng minh rằng: \(A = 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{2004}}\) chia hết cho 3; 7 và 15.

Bài toán 3: a) Viết tổng sau thành một tích   \({3^4} + {3^5} + {3^6} + {3^7}\)

                     b) Chứng minh rằng: \(B = 1 + 3 + {3^2} + .... + {3^{99}} \vdots 40\)

Bài toán 4: Chứng minh rằng:

                              a) \({S_1} = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{2004}} \vdots 6;31;156\)

                              b) \({S_2} = 2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^{100}} \vdots 31\)

                              c) \({s_3} = {16^5} + {2^{15}} \vdots 33\)

                              d) \({S_4} = 53! - 51! \vdots 29\)

Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của hiệu \(2007.2009.2011.....2017 - 2002.2004.2006.2008\)

Bài toán 6: Chứng minh rằng các tổng và hiệu sau chia hết cho 10

                    a) \({481^n} + {1999^{1999}}\)                 b) \({16^{2001}} - {8^{2000}}\)                                c) \({19^{2005}} + {11^{2004}}\)     

                     d) \({8^{102}} - {2^{102}}\)                        e)\({17^5} + {24^4} - {13^{21}}\)                         g) \({12^{2004}} - {2^{1000}}\)

Bài toán 7: Tìm chữ số tận cùng của tổng   \(5 + {5^2} + {5^3} + ...... + {5^{96}}\)

Bài toán 8: Chứng minh rằng số \(A = \frac{1}{{10}}.({7^{{{2004}^{2006}}}} - {3^{{{92}^{94}}}})\) là một số tự nhiên.

Bài toán 9: Cho \(S = {3^0} + {3^1} + {3^2} + ... + {3^{30}}\). Tìm chữ số tận cùng củaS. CMR: S không là số chính phương.

Bài toán 10: Có hay không số tự nhiên n sao cho  \({n^2} + n + 2 \vdots 5\)

Bài toán 11: Tìm chữ số tận cùng của hiệu \({7^{1998}} - {4^{1998}}\)

Bài toán 12: Các tổng sau có là số chính phương không ?

a) \({10^8} + 8\)                      b) \(100! + 7\)                      c) \({10^{100}} + {10^{50}} + 1\)

Bài toán 13: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

          a) \({2002^{2005}}\) ;   \({1992^{1994}}\) ;    \({33^{2003}}{.34^{2003}}\)  ;    \({28^{2006}}{.81^{1003}}\) ;   \({1892.1892^4}{.1892^7}{.....1892^{100}}\)

          b) \({2003^{2001}}\);    \({1973^1}{.1973^2}{.1973^3}{.......1973^{100}}\);  \({27^{2003}}{.9^{2003}}\) ;   \({81^{2007}}{.343^{669}}{.9^{2007}}\)

          c) \({1997^{2005}}\);    \({9^{2006}}{.23^{2006}}\) ;    \({1997^2}{.1997^5}{.1997^8}{.....1997^{2003}}\) ;   \({111^{1999}}{.27^{1999}}\)

          d) \({198^{1997}}\)  ; \({1998^{2002}}\)  ;     \({36^{2003}}{.63^{2003}}\) ;   \({1998.1998^7}{.1998^{13}}{......1998^{151}}\)

Bài toán 14: Cho \(S = 2 + {2^2} + {2^3} + .... + {2^{100}}\)

          a) Chứng minh rằng \(S \vdots 3\)

          b) Chứng minh rằng \(S \vdots 15\)

          c) Tìm chữ số tận cùng của S

Bài toán 15:

          Tìm chữ số tận cùng của các số sau

          a) \(23!\)                  b) \(37! - 24!\)                c) \(2.4.6....1998 - 1.3.5....1997\)

Bài toán 16:

          Các tích sau tận cùng bằng bao nhiêu chữ số 0 ?

          a) \(49!\)                             b) \(7.8.9....81\)                      c) \(100!\)

Bài toán 17: Chứng minh rằng

          a) \({2002^{2004}} - {1002^{1000}} \vdots 10\)         b)  \({1999^{2001}} + {201^{2005}} \vdots 10\)       c) \({9^{{9^{{9^9}}}}} - {9^{{9^9}}} \vdots 10\)

Bài toán 18:

          Chứng minh rằng:    a)  \(0,3.({2003^{2003}} - {1997^{1997}})\) là một số tự nhiên

                                          b) \(\frac{1}{{10}}.({1997^{{{2004}^{2006}}}} - {1993^{{{1994}^{1998}}}})\) là một số tự nhiên

Bài tập bổ sung: