Lý thuyết và bài tập tính chất chia hết của một tổng

 LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

I. Lý thuyết

1. Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên \({\bf{b}}{\rm{ }} \ne {\rm{ }}{\bf{0}}\) nếu có một số tự nhiên k sao cho: \({\bf{a}}{\rm{ }} = {\rm{ }}{\bf{b}}.{\bf{k}}\)

Kí hiệu a chia hết cho b bởi \(a \vdots b\)

Kí hiệu a không chia hết cho b bởi a \(\not  \vdots \) b

Nếu \(a \vdots b\) và \(b \vdots c\) thì \(a \vdots c.\)

2. Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó: \(a \vdots m,{\rm{ }}b \vdots m,{\rm{ }}c \vdots m \Rightarrow \left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c} \right) \vdots m.\)

3. Nếu a > b, a và b đều chia hết cho cùng một số thì hiệu a – b cũng chia hết cho số đó:

\(a \vdots m,{\rm{ }}b \vdots m \Rightarrow \left( {a{\rm{ }} - b} \right) \vdots \;m.\)

4. Nếu trong tổng có một số hạng không chia hết cho số tự nhiên m, còn các số hạng khác đều chia hết cho m thì tổng đó không chia hết cho m: \(a \vdots m,{\rm{ }}b \vdots m,{\rm{ }}c\;m \Rightarrow \left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c} \right)\;\not  \vdots m\)

Lưu ý: Một tổng chia hết cho một số tự nhiên nhưng các số hạng của tổng không nhất thiết cần phải chia hết cho số đó.

II. Luyện tập

Bài 1 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Áp dụng tính chất chia hết, xét xem mỗi tổng sau có chia hết cho 8 không:

a) 48 + 56;                             b) 80 + 17.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Vì \(48 \vdots 8,{\rm{ }}56 \vdots 8{\rm{ }} =  > {\rm{ }}\left( {48{\rm{ }} + {\rm{ }}56} \right) \vdots 8;\)

b) Vì \(80 \vdots 8\), nhưng \(17\not  \vdots \) nên \(\left( {80{\rm{ }} + {\rm{ }}17} \right)\not  \vdots \;8.\)

Bài 2 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Áp dụng tính chất chia hết, xét xem hiệu nào chia hết cho 6:

\(a){\rm{ }}54{\rm{ }}-{\rm{ }}36;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}b){\rm{ }}60{\rm{ }}-{\rm{ }}14.\)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Vì \(54 \vdots 6\)và \(36 \vdots 6\) nên \(54{\rm{ }}-{\rm{ }}36 \vdots 6\).

b) Vì \(60 \vdots 6\)nhưng \(14\not  \vdots \;6\) nên \(60{\rm{ }}-{\rm{ }}14\not  \vdots 6\).(không chia hết cho 6)

Bài 3 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Áp dụng tính chất chia hết, xét xem tổng nào chia hết cho 7:

\(a){\rm{ }}35{\rm{ }} + {\rm{ }}49{\rm{ }} + {\rm{ }}210;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}b){\rm{ }}42{\rm{ }} + {\rm{ }}50{\rm{ }} + {\rm{ }}140;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;{\rm{ }}\;c){\rm{ }}560{\rm{ }} + {\rm{ }}18{\rm{ }} + {\rm{ }}3.\)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Vì 35, 49, 210 đều chia hết cho 7 nên 35 + 49 + 210 chia hết cho 7.

b) Vì 42, 140 chia hết cho 7 nhưng 50 không chia hết cho 7 nên 42 + 50 + 140 không chia hết cho 7;

c) Vì 560 và 18 + 3 đều chia hết cho 7 nên 560 + 18 + 3 chia hết cho 7.

Bài 4 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Điền dấu "x" vào ô thích hợp trong các câu sau và giải thích điều đó:

Đáp án và hướng dẫn giải:

Câu b) sai vì 21.8 chia hết cho 8 nhưng 17 không chia hết cho 8 nên 21.8 + 17 không chia hết cho 8.

Câu c) sai vì 300 chia hết cho 6 nhưng 34 không chia hết cho 6 nên 3.100 + 34 không chia hết cho 6.

Bài 5 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Cho tổng: A = 12 + 14 + 16 + x với \(x \in N.\) Tìm x để:

a) A chia hết cho 2;                                   b) A không chia hết cho 2.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Vì 12, 14, 16 đều chia hết cho 2 nên 12 + 14 + 16 + x chia hết cho 2 thì x = A – (12 + 14 + 16) phải chia hết cho 2. Vậy x là mọi số tự nhiên chẵn.

b) x là một số tự nhiên bất kì không chia hết cho 2.

Vậy x là số tự nhiên lẻ.

Bài 6 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta được số dư là 8. Hỏi số a có chia hết cho 4 không ? Có chia hết cho 6 không?

Đáp án và hướng dẫn giải:

Gọi q là thương trong phéo chia a cho 12, ta có a = 12q + 8. Vì 12 = 4 . 3 nên 12q = 4 . 3q. Do đó 12q chia hết cho 4; hơn nữa 8 cũng chia hết cho 4. Vậy a chia hết cho 4.

Lập luận tương tự ta đi tới kết luận; a không chia hết cho 6.

Bài 7 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Điền dấu "x" vào ô thích hợp trong các câu sau:

Đáp án:

a) Đúng;                       b) Sai;                           c) Đúng;              d) Đúng

Bài 8 (trang 36 Toán 6 tập 1)

Gạch dưới số mà em chọn:

a) Nếu \(a \vdots 3\) và \(b \vdots 3\) thì tổng a + b chia hết cho 6; 9; 3.

b) Nếu \(a \vdots 2\) và \(b \vdots 4\) thì tổng a + b chia hết cho 4; 2; 6.

c) Nếu \(a \vdots 6\) và \(b \vdots 9\) thì tổng a + b chia hết cho 6; 3; 9.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Nếu \(a \vdots 3\)và \(b \vdots 3\) thì tổng a + b chia hết cho 6; 9; 3

b) Nếu \(a \vdots 2\) và \(b \vdots 4\) thì tổng a + b chia hết cho 4; 2; 6.

c) Nếu \(a \vdots 6\) và \(b \vdots 9\)thì tổng a + b chia hết cho 6; 3; 9.