CHUYÊN ĐỀ TÌM ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT

CHUYÊN ĐỀ TÌM ĐIỀU KIỆN CHIA HẾT

Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:

A= n³ +2n² -3n+2 ,    B= n² -n

Giải: Đặt tính chia:

Ví dụ 1: Tìm số nguyên n để giá trị của biểu thức A chia hết cho giá trị của biểu thức B:

A= n³ +2n² -3n+2 ,    B= n² -n

Giải: Đặt tính chia:

Muốn chia hết, ta phải có 2 chia hết cho n(n-1),do đó 2 chia hết cho n(vì n là số nguyên)

Ta có:

Vậy n= -1; n = 2

Ví dụ 2:

Tìm số nguyên dương n để n⁵ +1 chia hết cho n³ +1.

Giải: Ta có

n⁵ +1 chia hết cho  n³ +1

⇔ n² (n³+1) – (n² -1)  chia hết cho (n+1)(n² -n +1)

⇔ (n-1)(n+1) chia hết cho (n+1)(n² -n +1)

⇔ n -1  chia hết cho n² -n +1 (vì n+1 0)

Nếu n =1 thì ta được 0 chia hết cho 1

Nếu n>1 thì n -1< n(n-1) +1=n² -n +1, do đó không thể chia hết cho n² – n +1.

Vậy giá trị duy nhất của n tìm được là 1.

Ví dụ 3:

Tìm số nguyên n để n⁵ +1 chia hết cho n³+1.

Giải: Theo ví dụ trên ta có:

⇒ n -1 chia hết cho n² -n +1

⇒ n(n-1)   chia hết cho n² -n +1

⇒ n² -n     chia hết cho n² -n +1

⇒ (n² -n +1) -1  chia hết cho n² -n +1

⇒ 1 chia hết cho  n² -n +1

Có hai trường hợp

n² -n +1 =1 ⇔ n( n -1) =0 ⇔ n=0; n=1. Các giá trị này thoả mãn đề bài.

n² -n +1= -1 ⇔ n² -n +2 =0 không tìm được giá trị của n

Vậy n= 0; n =1 là hai số phải tìm.

Ví dụ 4:

Tìm số tự nhiên n sao cho 2ⁿ -1 chia hết cho 7.

Giải:

Nếu n = 3k (k ∈ N) thì 2ⁿ -1 = 2^3k -1 = 8^k -1

Chia hết cho 7

Nếu n =3k +1(k ∈ N) thì

2ⁿ -1= 2^3k+1 – 1=2(2^3k -1) +1 = Bs 7 +1

Nếu n = 3k +2 ( k ∈ N) thì

2ⁿ -1= 2^3k+2 -1 =4(2^3k – 1)+3 =Bs 7 +3

Vậy 2ⁿ -1 chia hết cho 7 n = 3k(k ∈ N).

*Bài tập áp dụng

Bài 1: Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a²+3a +2 chia hết cho 6.

Giải:

Ta có a² +3a + 2 = (a+1)(a+2) là tích của 2 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 2

Do đó a² +3a +2 chia hết cho 3 ⇔ a² +2 chia hết cho 3

⇔ a² : 3 dư 1 ⇔ a không chia hết cho 3.

Điều kiện phải tìm là a không chia hết cho 3.

Bài 2:

Tìm điều kiện của số tự nhiên a để a⁴ -1 chia hết cho 240.

Bài 3:

Tìm số nguyên tố p để 4p +1 là số chính phương.

Bài 4.

Tìm ba số nguyên tố liên tiếp a,b,c sao cho a² + b² + c²  cũng là số nguyên tố

Giải: Xét hai trường hợp

+ Trong 3 số a,b,c có một số bằng 3.

Khi đó 2² + 3² + 5² =38 là hợp số (loại)

Còn 3² + 5² + 7² =83 là số nguyên tố.

+ Cả 3 số a,b,c đều lớn hơn 3.

Khi đó a², b², c² đều chia cho 3 dư 1 nên

a² + b² + c² chia hết cho 3,là hợp số (loại)

Vây ba số phải tìm là 3,5,7.

* Các bài tập tổng hợp các dạng toán trên

Bài 1. Cho bốn số nguyên dương a,b,c,d thảo mãn a² +b² = c² + d² .Chứng minh rằng a+ b+c+ d là hợp số.

Giải:

Xét biểu thức

A= (a² -a)+(b² -b)+( c² -c)+ (d² -d)

Dễ thấy A là số chẵn (vì biểu thức trong mỗi dấu ngoặc là tích của hai số nguyên liên tiếp) nên

(a² + b² + c² +d²) -(a+b + c+ d) là số chẵn

mà a² +b² = c² + d² nên a² +b² + c² + d²

là số chẵn.

Vậy a + b+ c + d là số chẵn,tổng này lớn hơn 2 nên là hợp số.

Bài 2. Cho các số nguyên a,b,c đều chia hết cho 6. Chứng minh rằng

Nếu a+ b+ c chia hết cho 6 thì a³ + b³  + c³

Chia hết cho 6

Giải:

Ta có  A=a³ + b³ + c³ – (a +b + c)

= (a³ -a) + (b³ -b) + (c³ -c)

Do a³ -a , (b³ -b) , (c³ -c) đều chia hết cho 6

Nên A   6

Mặt khác a+ b +c  chia hết cho 6

Do đó a³ +  b³  + c³  chia hết cho 6

Bài 3: Chứng minh rằng tổng các lập phương của ba sô nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9.

+ Hướng suy nghĩ: Tổng các lập phương của ba số nguyên liên tiếp có dạng như thế nào?

– HS: a³ + ( a + 1)³ + ( a + 2)³ hoặc  ( a -1)³ + a³ + ( a+ 1)³

+ Trong hai tổng vừa lập được hãy chọn tổng mà ta có thể biến đổi một cách nhẹ nhàng hơn

Bài 4: Chứng minh rằng A chia hết cho B với

A= 1³ + 2³ + 3³ +…+ 99 ³ + 100³

B= 1 + 2 + 3+…+ 99 + 100.

+ Hướng suy nghĩ cho hs: Bài toán trên thuộc dạng nào?

+  Trong hai tổng A và B ta tính được tổng nào? ( B = 50. 101)

+ Chứng tỏ A chia hết cho 5050? ( 1³ + 99³ ⋮ 50. 101)

Bài 5. Cho bốn số nguyên dương thoả mãn điều kiện ab = cd. Chứng minh rằng

a⁵ + b⁵ +c⁵ + d⁵ là hợp số

Giải:

Gọi ƯCLN (a,c) = k ( k nguyên dương)

Khi đó a = ka₁ , c= k .c₁ và ( a₁, c₁) =1

Thay vào a.b = c.d được

k.a₁ .b = k .c₁.d    nên a₁.b = c₁. d

ta có a₁.b c₁ mà ( a₁ , c₁)=1

nên b c₁ .Đặt b = c₁.m (m nguyên dương), thay vào (1) được

a₁.c₁.m = c₁.d nên a₁ .m = d

Do đó

A = a⁵ + b⁵ +c⁵ + d⁵

= k⁵ a₁⁵ + c₁⁵ m⁵ + c₁⁵ m⁵ +k⁵ c₁⁵ + a₁⁵ m⁵

= k⁵ ( a₁⁵ +c⁵) + m⁵ ( a⁵ + c⁵)

= (a₁⁵ + c₁⁵)( k⁵ + m⁵).

Do a₁, c₁ , k ,m là các số nguyên dương nên A là hợp số.

Bài 6. Chứng minh rằng nếu các số tự nhiên a,b,c thoả mãn điều kiện

a² + b² = c²  thì abc chia hết cho 60.

Giải: Theo bài ra  a² + b² = c²  (1)

Ta có  60 = 3. 4. 5

*Nếu a ,b ,c đều không chia hết cho 3 thì a², b² ,c² đều chia cho 3 dư 1.

Khi đó

a² + b² = Bs 3 + 2, còn c² = Bs 3 + 1 trái với (1).Vậy trong ba số a,b,c có một số chia hết cho 3.

*Nếu a,b,c đều không chia hết cho 5 thì a², b², c² chia cho 5 dư 1 hoặc 4. Khi đó a² +b² chia cho 5 dư 0,2,3 còn c² chia cho 5 dư 1,4 trái với (1).Vậy tồn tại một trong ba số a,b,c chia hết cho 5.

*Nếu a,b,c đều không chia hết cho 4 thì a², b², c² chia cho 8 dư 1 hoặc 4

Khi đó a² + b² chia cho 8 dư 0, 2 , 5, còn c² chia cho 8 dư 1, 4 trái với (1).Vậy tồn tại một số chia hết cho 4.

Kết luận: abc chia hết cho 3.4.5 tức là chia hết cho 60.