Tuyển tập chia hai lũy thừa cùng cơ số

TUYỂN TẬP

CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

Bài 1. Viết gọn biểu thức sau dưới dạng lũy thừa:

\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}7.7.7.7.7.7{\rm{ }} = {\rm{ }}{7^6}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b){\rm{ }}6.6.6.3.2{\rm{ }} = {\rm{ }}{6^4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;c){\rm{ }}2.2.2.3.3{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{.3^2}\\d){\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}3{\rm{ }}.{\rm{ }}4{\rm{ }}.{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^3}{.4^2}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;e){\rm{ }}a{\rm{ }}.{\rm{ }}a{\rm{ }}.{\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }}.{\rm{ }}b{\rm{ }}.{\rm{ }}b{\rm{ }}.{\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }}{a^3} + {\rm{ }}{b^4}\\f){\rm{ }}{3^3}{.3^4} = {\rm{ }}{3^{3 + 4}} = {\rm{ }}{3^7}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;g){\rm{ }}{5^2}{.5^7} = {\rm{ }}{5^9}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;h){\rm{ }}{3^5}{.4^5} = {\rm{ }}{\left( {3.4} \right)^5} = {\rm{ }}{12^5}\\i){\rm{ }}{8^5}{.2^3} = {\rm{ }}{\left( {{2^3}} \right)^5}{.2^3} = {\rm{ }}{2^{15}}{.2^3} = {\rm{ }}{2^{18}}\;\;\\k){\rm{ }}{4^{14}}.{\rm{ }}{5^{28}} = {\rm{ }}{4^{14}}{.25^{14}} = {100^{14}}\\l){\rm{ }}{x^7}.x.{x^4} = {\rm{ }}{x^{7 + 1 + 4}} = {\rm{ }}{x^{12}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;m){\rm{ }}10000{\rm{ }} = {\rm{ }}{10^4}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;n){\rm{ }}{5^6}:{5^2} = {\rm{ }}{5^4}\\o){\rm{ }}{a^4}:{\rm{ }}a{\rm{ }}(a\; \ne 0)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;p){\rm{ }}{9^8}:{3^2} = {\rm{ }}{\left( {{3^2}} \right)^8}{.3^2} = {\rm{ }}{3^{16}}{.3^2} = {\rm{ }}{3^{18.}}\end{array}\)

Bài 2. So sánh:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{2^4}vs{\rm{ }}{3^3}}\\{{2^4} = {\rm{ }}16,{\rm{ }}{3^3} = {\rm{ }}27}\\{16{\rm{ }} < {\rm{ }}27{\rm{ }} =  > {\rm{ }}{2^4} < {\rm{ }}{3^3}}\\{b){\rm{ }}{2^5}vs{\rm{ }}{5^2}}\\{{2^5} = {\rm{ }}32,{\rm{ }}{5^2} = {\rm{ }}25.}\\{32{\rm{ }} > {\rm{ }}25{\rm{ }} =  > {\rm{ }}{2^5} > {\rm{ }}{5^2}}\\{c){\rm{ }}{2^4}vs{\rm{ }}{4^2}}\\{{4^2} = {\rm{ }}{{\left( {{2^2}} \right)}^2} = {\rm{ }}{2^4} =  > {2^4} = {\rm{ }}{4^2}}\\{d){\rm{ }}{{16}^3}vs{\rm{ }}{2^{14}}}\\{{{16}^3}\; = {\rm{ }}{{\left( {{2^4}} \right)}^3} = {\rm{ }}{2^{12}}}\\{{2^{12}} < {\rm{ }}{2^{14}} =  > {\rm{ }}{{16}^3} < {\rm{ }}{2^{12}}}\\{e){\rm{ }}{{27}^2}vs{\rm{ }}{{25}^3}}\\{{{27}^2}{ = ^{36}},{\rm{ }}{{25}^3} = {\rm{ }}{5^6}}\\{{3^6} < {\rm{ }}{5^6} =  > {\rm{ }}{{27}^2} < {\rm{ }}{{25}^3}}\\{f)\;{3^{50}}vs{\rm{ }}{7^{30}}}\\{{3^{50}} = {\rm{ }}{3^{5.10}} = {\rm{ }}{{\left( {{3^5}} \right)}^{10}} = {\rm{ }}{{243}^{10}}}\\{{7^{30}} = {\rm{ }}{7^{3.10}} = {\rm{ }}{{343}^{10}}}\\{{{243}^{10}} < {\rm{ }}{{343}^{10}} =  > {\rm{ }}{3^{50}} < {\rm{ }}{7^{30}}}\end{array}\)

Bài 3. Viết các tổng sau thành một bình phương:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}{2^3} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} = {\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^2};}\\{b){\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}{2^3} + {\rm{ }}{3^3} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}27{\rm{ }} = {\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}{6^2};}\\{c){\rm{ }}{1^3} + {\rm{ }}{2^3} + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}{4^3} = {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}27{\rm{ }} + {\rm{ }}64{\rm{ }} = {\rm{ }}100{\rm{ }} = {\rm{ }}{{10}^2}}\end{array}\)

Bài 4. Tính giá trị biểu thức:

\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}{3^8}:{\rm{ }}{3^4} + {\rm{ }}{2^2}.{\rm{ }}{2^3} = {\rm{ }}{3^4} + {\rm{ }}{2^5} = {\rm{ }}81{\rm{ }} + {\rm{ }}32{\rm{ }} = {\rm{ }}113\\b){\rm{ }}3.{\rm{ }}{4^2}-{\rm{ }}2{\rm{ }}.{\rm{ }}{3^2} = {\rm{ }}{3.2^4}-{\rm{ }}{2.3^2} = {\rm{ }}3.2\left( {{2^3}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}6.5{\rm{ }} = {\rm{ }}30\end{array}\)

c) \(\frac{{{4^6}{{.3}^4}{{.9}^5}}}{{{6^{12}}}} = \frac{{{{({2^2})}^6}{{.3}^4}.{{({3^2})}^5}}}{{{6^{12}}}} = \frac{{{2^{12}}{{.3}^4}{{.3}^{10}}}}{{{6^{12}}}} = \frac{{{2^{12}}{{.3}^{14}}}}{{{6^{12}}}} = \frac{{{2^{12}}{{.3}^{12}}{{.3}^2}}}{{{6^{12}}}} = {3^2} = 9\)

d) \(\frac{{{{21}^2}.14.125}}{{{{35}^3}.6}} = \frac{{{{(3.7)}^2}{{.2.7.5}^3}}}{{35{}^3.6}} = \frac{{{3^2}{{.7}^2}{{.2.7.5}^3}}}{{{{35}^3}.6}} = \frac{{({7^3}{{.5}^3}).(3.2).3}}{{{{35}^3}.6}} = \frac{{{{35}^3}.6.3}}{{{{35}^3}.6}} = 3\)

e)

\(\begin{array}{l}\frac{{{{45}^3}{{.20}^4}{{.18}^2}}}{{{{180}^5}}} = \frac{{{9^3}{{.5}^3}{{.20}^4}{{.18}^2}}}{{{{180}^5}}} = \frac{{({9^3}{{.20}^3}){{.5}^2}.(5.20){{.18}^2}}}{{{{180}^5}}} = \frac{{{{180}^3}{{.5}^2}{{.100.18}^2}}}{{{{180}^5}}}\\ = \frac{{{{180}^3}{{.5}^2}{{.180}^2}}}{{{{180}^5}}} = {5^2} = 25\end{array}\)

g) \(\frac{{{2^{13}} + {2^5}}}{{{2^{10}} + {2^2}}} = \frac{{{2^3}({2^{10}} + {2^2})}}{{{2^{10}} + {2^2}}} = {2^3} = 8\)

Bài 5. Tìm n sao cho:

\(a){\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}{3^n} < {\rm{ }}81;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b){\rm{ }}25\; < {5^n} \le \;125\)

LG:
\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}9{\rm{ }} < {\rm{ }}{3^n} < {\rm{ }}81{\rm{  (}}{3^2} < {\rm{ }}{3^n} < {\rm{ }}{3^4}) =  > {\rm{ }}2{\rm{ }} < {\rm{ }}n{\rm{ }} < {\rm{ }}4 =  > n = 3\\b){\rm{ }}25\; < {5^n}\; \le 125{\rm{  (}}{5^2}\; < {5^n}\; \le {5^3}) =  > {\rm{ }}n{\rm{ }} = {\rm{ }}3\end{array}\)

Bài 6. Tính giá trị biểu thức:

a) \(\frac{{{2^{10}}.13 + {2^{10}}.65}}{{{2^8}.104}} = \frac{{{2^{10}}.78}}{{{2^8}}} = \frac{{{2^2}.3}}{4} = 3\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{b){\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + ... + 100} \right)\left( {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + ... + {{10}^2}} \right).\left( {65.111{\rm{ }}-{\rm{ }}13.15.37} \right)}\\{ = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + ... + 100} \right)\left( {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + ... + {{10}^2}} \right).\left( {65.111{\rm{ }}-{\rm{ }}13.3.5.37} \right)}\\{ = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + ... + 100} \right)\left( {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + ... + {{10}^2}} \right).\left( {65.111{\rm{ }}-{\rm{ }}65.111} \right)}\\{ = {\rm{ }}\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} + ... + 100} \right)\left( {{1^2} + {\rm{ }}{2^2} + ... + {{10}^2}} \right).0}\\{ = {\rm{ }}0}\end{array}\)

Bài 7. Tìm \(x \in N\) biết:

Bài 8. Tìm x, biết:

BÀI TẬP TỰ GIẢI

Bài 1. Tính giá trị các luỹ thừa sau:

a. \({2^3}{,2^4}{,2^5}{,2^6}{,2^7}{,2^8}{,2^9}{,2^{10}}\)                     b. \({3^2}{,3^3}{,3^4}{,3^5}\)

c. \({4^2}{,4^3}{,4^4}\)           d. \({5^2}{,5^3}{,5^4}\)           e. \({6^2}{,6^3}{,6^4}\)

Bài 2. Viết kết quả phép tính dưới dạng một luỹ thừa:

a. \({3^4}{.3^7}\)                             b. \({11^2}{.11^{11}}\)            c. \(a.{a^5}.{a^9}.{a^{13}}\)

d. \({6^9}:{6^4}\)                  e. \({13^{14}}:{13^{10}}\)                   f. \({2^{10}}:{2^8}:{2^2}\)

Bài 3. Viết các số: 987, 3478, 20987, \(\overline {abcdef} \) dưới dạng tổng các luỹ thừa của 10.

Bài 4. Thu gọn các tổng sau:

\(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{2017}}\)

\(B = {3^{11}} + {3^{12}} + {3^{13}} + ... + {3^{101}}\)

\(C = 1 + 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{200}}\)

\(D = 11 + {11^2} + {11^3} + ... + {11^{1000}}\)

Bài 5. So sánh:

a. \({2^3}\) và \({3^2}\)

b. \({3^4}\) và \({4^3}\)

c. \(A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{100}}\) và \(B = {2^{101}}\)

Bài 6. Tìm số tự nhiên c, biết rằng với mọi \(n \in {\mathbb{N}^*}\) ta có:

a. \({c^n} = 1\)                                          b. \({c^n} = 0\)

Bài 7. Tìm số tự nhiên x, biết:

a. \({3^{x + 2}} + {3^{x + 4}} = 270\)                                     b. \({\left( {2x - 5} \right)^5} = {3^{10}}\)

c. \({2^x} = {2^7}\)                                               d. \({3^x} = 81\)

e. \({\left( {x - 3} \right)^3} = 27\)                                       f. \({\left( {2x + 1} \right)^3} = 125\)

g. \({\left( {x - 2} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^4}\)                                  h. \({2^{x + 3}} + {2^x} = 36\)

i. \({\left( {\left( {2x - 4} \right) + 9} \right)^3} = {3^6}\)

Bài 8. Tìm chữ số tận cùng của \({3^{2017}}\).