So sánh hai lũy thừa

 SO SÁNH HAI LŨY THỪA.

I. Lý thuyết

1. Để so sánh hai luỹ thừa, ta thường đưa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ.

 + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn.

 Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\left( {a > 1} \right).\)

+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn sẽ lớn hơn.

Nếu \(a > b\) thì \({a^n} > {b^n}\left( {{\rm{ }}n > 0} \right).\)                  

2. Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân.

\(a < b\) thì \(a.c{\rm{ }} < {\rm{ }}b.c\) với \(c > 0\)

II. Bài tập

Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{{27}^{11}}vs{\rm{ }}{{81}^8}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;b){\rm{ }}{{625}^5}vs{\rm{ }}{{125}^7}}\\{\;c){\rm{ }}{5^{36}}vs{\rm{ }}{{11}^{24\;\;\;\;}}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d){\rm{ }}{3^{2n}}vs{\rm{ }}{2^{3n\;}}\;(n \in {N^*})}\end{array}\)

Hướng dẫn:

          a) Đưa về  cùng cơ số 3.

          b) Đưa về cùng cơ số 5.

          c) Đưa về cùng số mũ 12.

          d) Đưa về cùng số mũ n

Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?

\(\begin{array}{*{20}{l}}{\;\;\;\;\;\;\;\;\;a){\rm{ }}{5^{23}}\;vs{\rm{ }}{{6.5}^{22}}\;\;\;\;\;\;\;}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;b){\rm{ }}{{7.2}^{13}}vs{\rm{ }}{2^{16}}}\\{\;\;\;\;\;\;\;\;\;c){\rm{ }}{{21}^{15}}vs{\rm{ }}{{27}^5}{{.49}^8}}\end{array}\)

Hướng dẫn:

          a) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 5²².

          b) Đưa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 2¹³.

          c) Đưa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3.

Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{{199}^{20}}\;vs{\rm{ }}{{2003}^{15}}.}\\{\;b){\rm{ }}{3^{39}}vs{\rm{ }}{{11}^{21}}.}\end{array}\)

Hướng dẫn :

          \(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{{199}^{20}} < {\rm{ }}{{200}^{20}} = {\rm{ }}{{\left( {{2^3}{{.5}^2}} \right)}^{20}} = {\rm{ }}{2^{60}}.{\rm{ }}{5^{40}}.}\\\begin{array}{l}\;{2003^{15}} > {\rm{ }}{2000^{15}} = {\rm{ }}{\left( {{{2.10}^3}} \right)^{15}} = {\rm{ }}{\left( {{2^4}.{\rm{ }}{5^3}} \right)^{15}} = {\rm{ }}{2^{60}}{.5^{45}}\\ =  > {199^{20}} < {2003^{15}}\;\end{array}\\{\;b){\rm{ }}{3^{39}} < {3^{40}} = {\rm{ }}{{\left( {{3^2}} \right)}^{20}} = {\rm{ }}{9^{20}} < {{11}^{21}}.}\end{array}\)

Bài 4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?

        \({72^{45}} - {\rm{ }}{72^{44}}\) và \({72^{44}} - {\rm{ }}{72^{43}}\)

Hướng dẫn:

         \(\begin{array}{*{20}{l}}{{{72}^{45}} - {{72}^{44}} = {{72}^{44}}\left( {72 - 1} \right) = {{72}^{44}}.71.}\\{{{72}^{44}} - {{72}^{43}} = {{72}^{43}}\left( {72 - 1} \right) = {{72}^{43}}.71.}\end{array}\)

Bài 5: Tìm \(x \in N\)biết:

 \(\begin{array}{l}a,{\rm{ }}{16^x} < {\rm{ }}{128^{4.}}\\b,{\rm{ }}{5^x}{.5^{x + 1}}{.5^{x + 2}} \le 100...0{\rm{ }}:{\rm{ }}{2^{18}}\end{array}\)

  Hướng dẫn:

      a, Đưa 2 vế về cùng cơ số 2.

           luỹ thừa nhỏ hơnsố mũ nhỏ hơn.

               Từ đó tìm x.

      b, Đưa 2 vế về cùng cơ số 5x.\({10.9^8}.\)

Bài 6: Cho \(S = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^9}.\)

      Hãy so sánh S với \({5.2^8}.\)

Hướng dẫn:

\(\begin{array}{l}2S = 2 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + .... + {2^{10}}.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ =  > 2S - S = {2^{10}} - 1\left( {{2^{10}} = {2^2}{{.2}^8} = {{4.2}^8} < {{5.2}^8}} \right).\end{array}\)

Bài 7: Gọi m là các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0. Hãy so sánh m với

Hướng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu.

                   Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu....

           \( =  > m = 9.9.9.9.9.9.9.9.9 = {9^9}.\)

       Mà \({9^{9\;}} = \;{9.9^8}{\;^{\;\;}} < \;{10.9^8}.\)

          Vậy: \(m{\rm{ }} < \;{10.9^8}.\)

Bài 8:    So sánh  \(a)\;\;{31^{31}}\;\;vs\;\;{17^{39}}.\;\;\;\)                  b)   và                                                                                                                                                                                         

  Hướng dẫn:    a) \({31^{31}} < {\rm{ }}{32^{31}} = {2^{155}};{\rm{ }}{17^{39}} > {16^{39}} = {\rm{ }}{2^{156}}.\)

                         b) So sánh  \({2^{21}}vs{\rm{ }}{5^{35}}\;\;\;\;\;\)

Bài 9:

Tìm \(x \in N\) biết

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ }}{1^3}\;\; + {\rm{ }}{2^3}\;\;\; + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}{{10}^3} = {\rm{ }}{{\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right)}^2}}\\{b){\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}99{\rm{ }} = {\rm{ }}{{\left( {x{\rm{ }} - 2} \right)}^2}}\end{array}\;\)

Giải:

\(\begin{array}{l}\begin{array}{*{20}{l}}{a){1^3}\;\; + {2^3}\;\; + {\rm{ }}{3^3} + {\rm{ }}... + {\rm{ }}{{10}^3} = {\rm{ }}{{\left( {x + 1} \right)}^2}}\\{{{\left( {1 + {\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}3 + ... + {\rm{ }}10} \right)}^2} = {\rm{ }}{{\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right)}^2}}\\{{{55}^2}\;\; = {\rm{ }}{{\left( {{\rm{ }}x{\rm{ }} + 1} \right)}^2}}\end{array}\\\begin{array}{*{20}{l}}{55{\rm{ }} = {\rm{ }}x{\rm{ }} + 1}\\{x{\rm{ }} = {\rm{ }}55 - {\rm{ }}1}\\{x{\rm{ }} = {\rm{ }}54}\\{}\end{array}\end{array}\)                                                 \(\begin{array}{l}b)1 + 3 + 5 + 7 + ... + 99 = {(x - 2)^2}\\{(\frac{{99 - 1}}{2} + 1)^2} = {(x - 2)^2}\\{50^2} = {(x - 2)^2}\\x = 50 + 2\\x = 52\end{array}\)