Bài tập nâng cao Chia hai lũy thừa cùng cơ số

 BÀI TẬP NÂNG CAO

CHIA HAI LŨY THỪA CÙNG CƠ SỐ

I. Lý thuyết

1. Tìm chữ số tận cùng của một tích.

+ Tích của các số lẻ là một số lẻ.

+ Tích của một số chẵn với bất kỳ số tự nhiên nào cũng là một số chẵn.

+ \(\overline {x0} .a = \overline {y0} \)    (với \(a \in N\))              + \(\overline {x5} .a = \overline {y5} \)   (với \(a \in N;a\) lẻ)

2. Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa.

+ \({\overline {x0} ^n} = \overline {y0} \)  (\(n \in {N^*}\));   + \({\overline {x1} ^n} = \overline {y1} \)  (\(n \in {N^{}}\));    +  \({\overline {x5} ^n} = \overline {y5} \)  (\(n \in {N^*}\));  +  \({\overline {x6} ^n} = \overline {y6} \)(\(n \in {N^*}\))

+ \({\overline {x4} ^{2k + 1}} = \overline {y4} \) (\(k \in N\));  + \({\overline {x9} ^{2k + 1}} = \overline {y9} \) (\(k \in N\));  +  \({\overline {x4} ^{2k}} = \overline {y6} \) (\(k \in {N^*}\));  + \({\overline {x9} ^{2k}} = \overline {y1} \) (\(k \in {N^*}\))

+ \({\overline {x2} ^{4n}} = \overline {y6} \) (\(n \in {N^*}\));   +  \({\overline {x8} ^{4n}} = \overline {y6} \) (\(n \in {N^*}\));  +   \({\overline {x3} ^{4n}} = \overline {y1} \) (\(n \in {N^*}\));  + \({\overline {x7} ^{4n}} = \overline {y1} \) (\(n \in {N^*}\));                   

 * Chú ý: Số chính phương là số bằng bình phương của một số tự nhiên.

          - Một số chính phương có tận cùng là 0; 1; 4; 5; 6 hoặc 9 không có tận cùng là 2; 3; 7; 8

3. So sánh hai lũy thừa

a)  Nếu \(m > n\) thì \({a^m} > {a^n}\)    (a>1)                  b) Nếu \(a > b\) thì \({a^n} > {b^n}\) (n>0)

c) Nếu a < b thì a.c < b.c  (c > 0)

II. Bài tập

Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

                     \({2^{2003}};{4^{99}};{9^{99}};{3^{99}};{7^{99}};{8^{99}}\); \({789^{{5^{{7^3}}}}}\);   \({74^{{8^{{3^5}}}}}\); \({87^{32}}\);   \({58^{33}}\);   \({23^{35}}\)

Bài toán 2: CMR: các số sau có có chữ số tận cùng như nhau.

          a) \(11a\) và \(a\)   (\(a \in N\))                                    b) \(7a\) và \(2a\)  (a là số chẵn)

Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của các số: \({2^{2003}}\) và \({3^{2003}}\); \({19^{{5^{2005}}}}\); \({234^{{5^{{6^7}}}}}\);     \({579^{{6^{{7^5}}}}}\)

Bài toán 4:

* Chú ý:  + \({\overline {x01} ^n} = \overline {y01} \) (\(n \in {N^*}\))       + \({\overline {x25} ^n} = \overline {y25} \) (\(n \in {N^*}\))           + \({\overline {x76} ^n} = \overline {y76} \)  (\(n \in {N^*}\)) 

                +  Các số \({3^{20}};{81^5};{7^4};{51^2};{99^2}\) có tận cùng bằng 01

                 + Các số: \({2^{20}};{6^5};{18^4};{24^2};{68^4};{74^2}\)   có tận cùng bằng 76

                + Số \({26^n}(n > 1)\) có tận cùng bằng 76.

áp dụng: Tìm hai chữ số tận cùng của các số sau.

                         \({2^{100}};{7^{1991}};{51^{51}};{99^{{{99}^{99}}}};{6^{666}};{14^{101}}{.16^{101}}\); \({2^{2003}}\)

Bài toán 5: Tìm chữ số tận cùng của các số sau.

          a) \({1999^{2001}}\)  ; \({99^{2004}}\)  ; \({7^{2005}}{.27^{2005}}\)  ;   \({999^{{{2006}^{2004}}}}\) ;   \({99^{{{999}^{9999}}}}\)  ;  \({1999^{{{19}^{{5^{2006}}}}}}\)

          b) \({2004^{2005}}\)   ;  \({1994^{2004}}\)  ;   \({8^{205}}{.28^{205}}\)  ; \({894^{{{895}^{896}}}}\); \({2004^{{{20}^{{{11}^{2006}}}}}}\)  ; \({194^{{7^{{5^{1954}}}}}}\)

Bài toán 6: Tìm chữ số tận cùng của các số sau

          a) \({2002^{{{2001}^{2004}}}}\)  ;   \({1992^{{{2000}^{2005}}}}\)   ; \({72^{{{81}^{{{82}^{83}}}}}}\);

          b) \({2003^{{{2004}^{2005}}}}\)  ;   \({193^{{{2001}^{2004}}}}\); \({83^{{{21}^{{6^{2006}}}}}}\)

          c) \({1997^{{{2000}^{2006}}}}\)  ; \({27^{{{101}^{{{105}^{110}}}}}}\)  ; \({2007^{{{2001}^{{{2002}^{2003}}}}}}\)

          d) \({1998^{{{200}^{2000}}}}\)  ; \({24^{{{201}^{205}}}}{.42^{{{201}^{205}}}}\)  ; \({198^{{{2001}^{{{2003}^{2005}}}}}}\)

Bài toán 7:

                    Cho \(A = {2^0} + {2^1} + {2^2} + .... + {2^{2005}}\)

Tìm chữ số tận cùng của A. Chứng tỏ rằng A không là số chính phương

Bài toán 8:  So sánh các số sau, số nào lớn hơn

          a) \({10^{30}}\)  và \({2^{100}}\)                                           b) \({333^{444}}\)  và \({444^{333}}\)

          c) \({13^{40}}\)  và \({2^{161}}\)                                          d) \({5^{300}}\) và \({3^{453}}\)

Bài toán 9: So sánh các số sau

          a) \({5^{217}}\)  và \({119^{72}}\)                                         b) \({2^{100}}\)  và \({1024^9}\)

          c) \({9^{12}}\) và \({27^7}\)                                             d) \({125^{80}}\) và \({25^{118}}\)

          e) \({5^{40}}\)  và \({620^{10}}\)                                          f) \({27^{11}}\) và \({81^8}\)

Bài toán 10: So sánh các số sau

          a) \({5^{36}}\)  và  \({11^{24}}\)                                          b) \({625^5}\) và \({125^7}\)

          c) \({3^{2n}}\) và  \({2^{3n}}\)  \((n \in {N^*})\)                            d)  \({5^{23}}\)  và \({6.5^{22}}\)

Bài toán 11: So sánh các số sau

          a) \({7.2^{13}}\)  và \({2^{16}}\)                                         b) \({21^{15}}\) và \({27^5}{.49^8}\)

          c) \({199^{20}}\)  và \({2003^{15}}\)                                  d)  \({3^{39}}\)   và \({11^{21}}\)

Bài toán 12: So sánh các số sau

          a) \({72^{45}} - {72^{44}}\)   và  \({72^{44}} - {72^{43}}\)              b) \({2^{500}}\)  và \({5^{200}}\)               c) \({31^{11}}\)  và \({17^{14}}\)

          d) \({3^{24680}}\)  và  \({2^{37020}}\)                               e) \({2^{1050}}\)   và  \({5^{450}}\)            g) \({5^{2n}}\) và \({2^{5n}};(n \in N)\)

Bài toán 13: So sánh các số sau

          a) \({3^{500}}\) và \({7^{300}}\)                            b) \({8^5}\) và \({3.4^7}\)                           c) \({99^{20}}\) và \({9999^{10}}\)

          d) \({202^{303}}\)  và \({303^{202}}\)                   e) \({3^{21}}\) và \({2^{31}}\)                             g) \({11^{1979}}\)  và \({37^{1320}}\)

          h) \({10^{10}}\)  và \({48.50^5}\)                      i) \({1990^{10}} + {1990^9}\)  và  \({1991^{10}}\)

Bài toán 14: So sánh các số sau

          a) \({107^{50}}\)   và \({73^{75}}\)                      b) \({2^{91}}\)  và \({5^{35}}\)                 c) \({54^4}\)  và \({21^{12}}\)        

Bài toán 15: Tìm \(x \in N\) biết

          a) \({16^x} < 128\)                                b) \({5^x}{.5^{x + 1}}{.5^{x + 2}} \le 1\underbrace {00...0}_{18c/s0}:{2^{18}}\)

Bài toán 16: Cho \(S = 1 + 2 + {2^2} + ..... + {2^{2005}}\).

          Hãy so sánh S với \({5.2^{2004}}\)

Bài toán 17: Gọi m là số các số có 9 chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0.

Hãy so sánh m với \({10.9^8}\)

Bài toán 18: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng ba chữ số 1; 2; 3 với điều kiện mỗi chữ số được dùng một lần và chỉ dùng một lần