Tính đơn điệu của hàm số và ứng dụng

Cập nhật lúc: 11:10 29-05-2015 Mục tin: LỚP 12

Đạo hàm là 1 chương vô cùng quan trọng, không khó nhưng nó lại có rất nhiều những ứng dụng vô cùng hay và khiến các dạng bài tập khó trở nên đơn giản hơn rất nhiều. Một trong những ứng dụng quan trọng mà khó có thể làm được khi không có sự góp mặt của nó chính là ứng dụng trong cách xét sự biến thiên của hàm số và các bài toán liên quan.

Xem thêm:

Tính đơn điệu của hàm số

A. LÝ THUYẾT
I. Định nghĩa: Cho hàm số $f$ xác định trên $D$
* Hàm số $f$ được gọi là đồng biến trên $D$ nếu $\forall x_1;x_2 \in D, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$ .
* Hàm số $f$ được gọi là nghịch biến trên $D$ nếu $\forall x_1;x_2 \in D, x_1<x_2 \Rightarrow f(x_1)>f(x_2)$ .
Việc xét tính đồng biến, nghịch biến ở các lớp dưới 9, 10,11 ta đi xét tỷ số $I=\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}$ .
Ta biết khi $I>0 (I<0)$ hàm số đồng biến ( nghịch biến).
Sau khi chúng ta đã được học giới hạn và khái niệm đạo hàm chúng ta có một công cụ đạo hàm để xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số. Mỗi liên hệ giữa tính đồng biến, nghịch biến và dấu của đạo hàm được thể hiện bới định lý.

II. Định lý:
Định lý 1:
*Nếu $f'(x) \geq 0 , \forall x \in D$ ( dấu $"="$ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm $f$ đồng biến trên $D.$
* Nếu $f'(x) \leq 0, \forall x\in D$ ( dấu $"="$ xảy ra tại hữu hạn điểm) thì hàm $f$ nghịch biến trên $D.$
* Nếu $f'(x) = 0 , \forall x \in D$ thì hàm $f$ là hàm hằng trên $D.$ .

* Nhận xét:
+ Các hàm số đa thức, phân thức và hàm số chứa căn mà ta xét thường chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm nên ta chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm là chủ yếu.
+ Các hàm số lượng giác tuần hoàn nên chỉ cần xét dấu đạo hàm trên một chu kì.

Định lý 2:
* Nếu hàm $f$ đồng biến ( nghịch biến) trên $D.$ thì $f'(x) \geq 0 ( f'(x) \leq 0), \forall x\in D.$
Như vậy từ định lý trên để xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số $f$ trên $D$ ta thường đi xét dấu của $f'$ trên $D.$
III. Các dạng toán thường gặp.
Dạng 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Phương pháp giải: Ta thường thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tìm TXĐ.
Bước 2: Tính $f'(x)$
Bước 3: Giải phương trình $f'(x)=0$ , hoặc tìm các giá trị $x_0$ mà hàm số không có đạo hàm tại $x_0.$
Bước 3: Sắp xếp các giá trị theo thứ tự tăng dần. Sau đó lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Dạng 2: Chứng minh hàm số đồng biến, nghịch biến trên $D$ .
Bài toán 1: Chứng minh hàm số $f(x)$ đồng biến ( nghịch biến ) trên $D.$
Phương pháp:
*Để chứng minh hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên $D$ là đi chứng minh $f'(x) \geq 0 (f'(x) \leq 0) , \forall x \in D$
* Ta xét dấu của $f'(x)$ , hoặc lập BBT để kết luận điều cần chứng minh.
Ví dụ : Chứng minh:
1. Hàm số $y=2sin^2x-\sqrt{3}sin2x+4x-3$ đồng biến trên $R.$
2. Hàm số $y=m^2x^3-6mx^2+3(m^2+4)x-3m^2+2$ đồng biến trên $R$ với mọi giá trị $m.$
Dạng 3: Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến ( nghịch biến ) trên $D$ .

Bài toán 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $f(x,m)$ đồng biến ( nghịch biến ) trên $D$

Phương pháp:
Hàm số $f(x,m)$ đồng biến ( nghịch biến) trên $D\Leftrightarrow f'(x,m) \geq 0 ( f'(x,m) \leq 0), \forall x\in D$ (*)
Vấn đề của chúng ta bây giờ là tìm cách giải vài toán (*).

* Lưu ý : Với các bài toán tìm tham số, thường đòi hỏi tìm điều kiện của tham số để hàm số đồng biến hay nghịch biến trên một khoảng nào đó. Thông thường có thể vận dụng điều kiện tam thức bậc hai để giải quyết. Tuy nhiên, hiện nay định lý đảo về dấu của tam thức bậc 2 không còn được trình bày trong chương trình phổ thông, do vậy, để xử lý trường hợp trên ta có thể vận dụng các hướng sau :
* Để giải quyết bài toán (*) ta thường đi theo hai hướng:
Hướng 1: Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận.
Hướng 2: Đưa $f'(x)$ về tích của các hàm bậc nhất, bậc hai để xét dấu.
Ví dụ 1:
1. Tìm $m$ để hàm số $y=x^3+3mx^2+6(m-1)x+1$ đồng biến trên khoảng $(0;2).$ ( Đề thi thử ĐH-Năm 2012)
Giải:
TXĐ: $D=R$
Như ta đã biết, hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng trên khoảng $(0;2) \Leftrightarrow f'(x) \geq 0 , \forall x \in (0;2)$ .
Như vậy yêu cầu của bài toán đưa về bài toán tìm $m$ để $y'=3x^2+6mx+6(m-1) \geq 0 , \forall x \in (0;2) (*)$
Bài toán này có hai cách giải thường dùng như sau:
Cách 1: Cô lập $m$ và khảo sát hàm số
Ta có: $(*)\Leftrightarrow m \geq \frac{2-x^2}{2x+2},\forall x \in (0;2) (**)$
Xét $g(x)=\frac{2-x^2}{2x+2},\forall x \in [0;2]$
$g'(x)=-\frac{2x^2+4x+2}{(2x+2)^2}<\forall x \in (0;2)$
$(**) \Leftrightarrow m \geq maxg(x)=g(0)=1, \forall x \in (0;2)$
Cách 2: Sử dụng dấu tam thức bậc 2.
$y'=0 \Leftrightarrow x=-m-\sqrt{(m-1)^2+1}; x=-m+\sqrt{(m-1)^2+1}{$ .
$y' \geq 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x \geq -m+\sqrt{m^2-2m+2} \\ x \leq -m-\sqrt{m^2-2m+2}\end{matrix}$
$(*) \Leftrightarrow \begin{bmatrix} -m+\sqrt{m^2-2m+2}\leq 0 \\ -m-\sqrt{m^2-2m+2}\geq 2\end{matrix}\Leftrightarrow m\geq 1$
2. Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-(m+1)x^2-(2m^2-3m+2)x+2m^2-3$ đồng biến trên $(2;+\infty)$
Giải:
TXĐ: $D=R$
$y'=3x^2-2(m+1)x-(2m^2-3m+2)$
Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty) \Leftrightarrow y' \geq (2;+\infty)$
Ta dễ thấy trong bài toán này không thể cô lập được $m$ nên không thể dùng cách 1 để giải quyết bài toán này được, do đó ta phải dùng cách 2.
$y'=0 \Leftrightarrow x=\frac{m+1-\sqrt{7m^2-7m+7}}{3}; x=\frac{m+1+\sqrt{7m^2-7m+7}}{3}{$ .
$y' \geq 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x \geq \frac{m+1+\sqrt{7m^2-7m+7}}{3} \\ x \leq \frac{m+1-\sqrt{7m^2-7m+7}}{3}\end{matrix}$
Do đó: Hàm số đồng biến trên $(2;+\infty) \Leftrightarrow \frac{m+1+\sqrt{7m^2-7m+7}}{3} \leq 2$
$\Leftrightarrow -2 \leq m\leq \frac{3}{2}.$
Vậy $-2 \leq m\leq \frac{3}{2}.$ là các giá trị $m$ cần tìm.
3. Tìm $m$ để hàm số $y=(m-1)x^3-3(m-1)x^2+3(2m-3)x+m$ nghịch biến trên $R.$
Giải:
TXĐ: $D=R.$
Ta có: $y'=3(m-1)x^2-6(m-1)x+3(2m-3)$
Hàm số nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x\in R$
Ta thấy $y'$ chưa là tam thức bậc hai nên ta phải xét hai trường hợp:
TH1: $m=1$ khi đó $y'=-3<0, \forall x\in R$ hàm số nghịch biến trên $R.$
TH2: $m\neq 1$ , khi đó $y'$ là tam thức bậc 2 nên nàm số nghịch biến trên $R \Leftrightarrow y' \leq 0, \forall x\in R \Leftrightarrow \begin{cases}m-1<0 \\ \Delta =(m-1)^2-(2m-3)(m-1)\leq 0\end{cases}\Leftrightarrow m<1$
Vậy $m \leq 1$ là các giá trị cần tìm.
* Từ các ví dụ trên ta cần lưu ý một số điểm sau:
-Nếu trong $y'$ chỉ chứa tham số $m$ bậc nhất khi đó ta sẽ cô lập được $m$ nên có thể dùng cách 1 để giải.
_Nếu không cô lập được $m$ và dấu của $y'$ là dấu của một tam thức bậc hai có chứa tham số thì chúng ta thường dùng cách 2 để giải:
- $f(x) \geq m. \forall x \in D \Leftrightarrow m \leq minf(x), \forall x \in D$
-- $f(x) \leq m. \forall x \in D \Leftrightarrow m \geq maxf(x), \forall x \in D$

Dạng 4: Chứng minh bất đẳng thức.
Bài toán 3: Chứng minh: $f(x) \geq g(x), \forall x\in D$
Phương pháp:
Chứng minh: $f(x) \geq g(x), \forall x\in D \Leftrightarrow h(x)=f(x)-g(x) \geq 0, \forall x\in D$
Ta lập bảng biến thiên ( hoặc xét dấu của $h(x)$ để kết luận.
Ví dụ 1:
Chứng minh rằng: $sinx+tanx \geq 2x, \forall x \in [0; \frac{\pi}{2})$
Giải:
Xét hàm số: $f(x)=sinx+tanx-2x, \forall x \in [0; \frac{\pi}{2})$
$f'(x)=cosx+\frac{1}{cos^2x}-2=\frac{cosx(1-cosx)^2+1-cosx}{cos^2x} \geq 0,\forall x \in [0; \frac{\pi}{2})$
Vậy $f(x)$ đồng biến trên nửa khoảng $[0; \frac{\pi}{2})$
Do đó: $f(x) \geq f(0), \forall x \in [0; \frac{\pi}{2}) \Leftrightarrow sinx+tanx-2x \geq 0, \forall x \in [0; \frac{\pi}{2})$
$\Leftrightarrow sinx+tanx \geq 2x, \forall x \in [0; \frac{\pi}{2})$ ( ĐPCM).
Kiến thức bổ sung:
* Hàm số $f$ đồng biến trên $[a;b]$ thì $f(a) \leq f(x) \leq f(b), \forall x\in [a;b]$
* * Hàm số $f$ nghịch biến trên $[a;b]$ thì $f(a) \geq f(x) \geq f(b), \forall x\in [a;b]$ .

B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

1. Tìm $m$ để hàm số $y=(m+2) \frac{x^3}{3}-(m+2)x^2-(3m-1)x+m^2-2$ đồng biến trên $R.$
2. Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3(m-1)x^2+(2m+1)x+m-2$ nghịch biến trên $(0;3)$ .
3. Tìm $m$ để hàm số $y=mx^3-3(m-1)x^2+9(m-2)x+m^2$ đồng biến trên $(2; + \infty).$
3. Tìm $m$ để hàm số $y=-2x^3+3(2m+1)x^2-6m^2x-2$ nghịch biến trên $( -\infty; 1).$
4. Chứng minh rằng: $sin^3x>x^3cosx, \forall x \in (0; \frac{\pi}{2}).$
5. Chứng minh rằng: $tanx+2sinx \geq 3x, \forall x \in [0; \frac{\pi}{2}).$

Tất cả nội dung bài viết. Các em hãy xem thêm và tải file chi tiết dưới đây:

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Luyện Bài tập trắc nghiệm môn Toán lớp 12 - Xem ngay

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Bài liên quan

Cách giải bài toán tính đơn điệu của hàm số (có video chữa)(19/06)

Tài liệu này sẽ giới thiệu cho các em một số cách giải mẫu của các dạng bài cơ bản, thường gặp nhất của phần tính đơn điệu của hàm số trong kỳ thi ĐH - THPT QG môn Toán để các em đạt được điểm số cao nhất trong kỳ thi chung này. Hơn nữa tài liệu này còn có video bài giảng của Thầy Phạm Quốc Vượng - một thầy giáo chuyên luyện thi THPT QG môn Toán tại Hà Nội với phần trăm đỗ đại học rất cao.
Sự biến thiên của hàm số(26/05)

Phần xét tính đơn điệu của hàm số bao gồm: Lý thuyết cơ bản về tính đơn điệu của hàm số, phương pháp làm 2 dạng bài thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc Gia môn Toán là dạng bài xét tính đơn điệu ( tính đồng biến, nghịch biến ) của hàm số, dạng bài tìm m để hàm số đơn điệu trên một khoảng.
Bài tập tính đơn điệu của hàm số(20/05)

Một trong những chuyên đề không thể thiếu đóng một vai trò hết sức quan trọng trong kỳ thi Đại học - THPT Quốc Gia môn Toán đó chính là khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, trong đó có phần xét tính đơn điệu của hàm số là một phần tương đối hay và khó.Tài liệu bao gồm tóm tắt lại phương pháp một cách cô đọng nhất và phần bài tập có đáp án đi kèm để luyện thêm
Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số ( có phương pháp giải )(26/05)

Bài viết dưới đây sẽ giới thiệu cho bạn đọc tổng hợp 35 dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số và phương pháp giải của từng dạng.
Xét tính đồng biến nghịch biến của hàm số(29/05)

Xét sự đồng biến và nghịch biến của hàm số trên một khoảng thực chất là ta đi xét dấu của y' trên khoảng đó. Nên trong phần này ta phải nắm thật chắc tất cả các kiến thức xét dấu của nhị thức bậc nhất và quan trọng hơn là cách xét dấu của tam thức bậc 2.
Xét chiều biến thiên của hàm số(06/08)

Chương trình lớp 10 đã đề cập đến khái niệm hàm đồng biến, hàm nghịch biến, hàm đơn điệu trên một khoảng. Ở đây, tài liệu sẽ đề cập đến việc xét sự biến thiên của hàm số bằng cách dùng đạo hàm.Ta thấy việc xét sự biến thiên của hàm số thực chất là xét dấu của đạo hàm.
Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình bất phương trình hệ phương trình vô tỷ ( có lời giải chi tiết )(28/05)

Phần này bao gồm các nội dung: giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đại số bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số có lời giải chi tiết giúp các em chiếm được những điểm khó trong đề thi Đại học - THPT Quốc Gia môn Toán
Để đạt được điểm 7 môn Toán(03/06)

Để đạt được điểm 7 trong 4 tháng luyện thi đại học không phải là dễ dàng. Tài liệu này đã được tinh giảm chỉ còn phần những kiến thức cần thiết cơ bản bao gồm toàn bộ 9 hệ thống kiến thức lớn ôn luyện thi ĐH - THPT Quốc Gia môn Toán giúp các em đạt được điểm cao trong kỳ thi chung này.
Tổng hợp những bài toán liên quan đến tính đơn điệu của hàm số - có lời giải(18/08)

Bài tập liên quan đến tính đồng biến, nghịch biến của hàm số là 1 kiến thức khá trừu tượng nhất là đối với những bài phải vận dụng đến kiến thức về dấu của tam thức bậc 2. Những bài tìm m để hàm số đơn điệu trên R thì tương đối đơn giản, nhưng lại không dễ đối với những bài toán tìm m để hàm số đơn điệu trên 1 khoảng cho trước.
Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số (15/08)

Bài tập xét tính đơn điệu của hàm số thường gồm các dạng sau: xét chiều biến thiên của hàm số, tìm điều kiện của tham số m để hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên 1 khoảng hoặc trên R; sử dụng chiều biến thiên của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình.