Các dạng toán liên quan đến khảo sát hàm số ( có phương pháp giải )

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: Cho hàm số y =f(x,m) có tập xác định D. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số đơn điệu trên D

Cách giải

- Bước 1: Tính đạo hàm

- Bước 2: Sử dụng các tính chất:

   +)Hàm số đồng biến trên D <=> y' ≥ 0,  ∀ xε D

   +) Hàm số nghịch biến trên D <=> y' ≤  0,  ∀ xε D

Chú ý:

- Bước 3: Kết luận với m =? thì hàm số đồng biến, nghịch biến.

Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y= f(x,m) đơn điệu trên một khoảng (a;b)

Cách giải

- Bước 1: Tính đạo hàm

- Bước 2: Sử dụng các tính chất:

  +) Hàm số đồng biến trên (a;b) <=>  y' ≥ 0,  ∀ xε (a;b)

  +) Hàm số nghịch biến trên (a;b) <=> y' ≤  0,  ∀ xε (a;b)

- Bước 3: Sử dụng kiến thức

Từ đó kết luận m

Dạng 3: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x,m) = \( ax^{3}+bx^{2}+cx+d\) đơn điệu trên một khoảng có độ dài bằng k cho trước

Cách giải

-Bước 1: Tính đạo hàm Ta có y' = \( 3ax^{2}+2bx+c\)

- Bước 2: Hàm số đồng biến trên khoảng \( (x_{1};x_{2})\) <=> phương trình: y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt \( x_{1},x_{2}\)

<=> \( \left\{\begin{matrix} a\neq 0 & \\ \Delta >0 & \end{matrix}\right. (1)\)

- Bước 3: Biến đổi \( |x_{1}-x_{2}|=k\) thành \( (x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=k^{2}(2)\)

- Bước 4: Sử dụng định lý Viet, đưa phương trình (2) thành phương trình theo m

- Bước 5: Giải phương trình, kết hợp với điều kiện (1) đưa ra kết quả

Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x,m) có cực trị

- Đối với hàm sô bậc 3: y = \( ax^{3}+bx^{2}+cx+d\). 

 +) Bước 1: Tính đạo hàm y'= \( 3ax^{2}+2bx+c\)

 +) Bước 2- Biện luận: Hàm số có cực trị <=> hàm số có cực đại và cực tiểu <=> phương trình y' = 0 có 2 nghiệm phân biệt

<=> \( 3ax^{2}+2bx+c\) = 0 có 2 nghiệm phân biệt

 +) Từ đó kết luận m

- Đối với hàm số: \( y =\frac{ax^{2}+bx+c}{mx+n}\)

  +) Bước 1: Tính đạo hàm: y' = \( \frac{amx^{2}+2anx+(bn-cm)}{(mx+n)^{2}}=\frac{g(x)}{(mx+n)^{2}}\)

 +) Bước 2 - Biện luận: Hàm số có cực trị <=> hàm số có cực đại và cực tiểu

<=> phương trình g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác - n/m