LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

BẰNG PHƯƠNG PHÁP DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC

Phương  pháp chung:

Đưa đa thức cần phân tích về dưới dạng của hằng đẳng thức, rồi phân tích thành nhân tử bằng các hằng đẳng thức.

Bài 1: Phân tích thành nhân tử:

a, x² – 9

b, 4x² – 25

c, x⁶ – y⁶ 

Lời giải:

a, x² – 9 = x² – 3² = (x + 3)(x – 3)

b, 4x² – 25 = (2x)² – 5² = (2x + 5)(2x – 5)

c, x⁶ – y⁶ = (x³)² – (y³)² = (x² + y³)(x³ – y³)

= (x + y)(x² – xy + y)(x – y)(x² + xy + y²)

Bài 2: Phân tích thành nhân tử:

a, 9x² + 6xy + y²

b, 6x – 9 – x²

c, x² + 4y² + 4xy

Lời giải:

a, 9x² + 6xy + y² = (3x)² + 2.(3x)y + y² = (3x + y)²

b, 6x – 9 – x² = - (x² – 2.x.3 + 3²) = - (x – 3)²

c, x² + 4y² + 4xy = x² + 2.x.(2y) + (2y)² = (x + 2y)²

Bài 3: Phân tích thành nhân tử:

a, (x + y)² – (x – y)²

b, (3x + 1)² – (x + 1)²

c, x³ + y³ + z³ – 3xyz

Lời giải:

a, (x + y)² – (x – y)² = [(x + y) + (x – y)][(x + y) – (x – y)]

= (x + y + x – y)(x + y – x + y) = 2x.2y = 4xy

b, (3x + 1)² – (x + 1)² = [(3x + 1) + (x +1)][(3x + 1) – (x + 1)]

= (3x + 1 + x + 1)(3x + 1 – x – 1)

= (4x + 2).2x = 4x(2x + 1)

c, x³ + y³ + z³ – 3xyz = (x + y)³ – 3xy(x + y) + z³ – 3xyz

= [(x + y)³ + z³] – 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)[(x + y)2 – (x + y)z + z2] – 3xy(x + y + z)

= (x + y + z)(x² + 2xy + y² – xz – yz + z² – 3xy)

= (x + y + z)(x² + y² + z² – xy – xz - yz)

Bài 4: Tính nhanh:

a, 25² – 15²

b, 87² + 73² – 27² - 13²

Lời giải:

a, 25² – 15² = (25 + 15)(25 – 15) = 40.100 = 400

b, 87² + 73² – 27² - 13² = (87² – 13²) + (73² – 27²)

= (87 + 13)(87 – 13) + (73 + 27)(73 – 27)

= 100.74 + 100.46 = 100(74 + 46) = 100.120 = 12000

Bài 5: Tìm x biết

a, x³ – 0,25x = 0

b, x² - 10x = -25

Lời giải:

a, x³ – 0,25x = 0

⇔x(x² - 0,25) = 0

⇔ x(x² - 0,52) = 0

⇔ x(x + 0,5)(x – 0,5) = 0

b, Ta có: x = 0

Hoặc x + 0,5 = 0 ⇒ x = -0,5

Hoặc x – 0,5 = 0 ⇒ x = 0,5

Vậy x = 0; x = - 0,5; x = 0,5

x² - 10x = -25 ⇔ x² – 2.x.5 + 5² = 0

⇔ (x – 5)² = 0 ⇔ x – 5 = 0 ⇔ x = 5

Bài 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) x³+ 3x²+ 3x + 1;

b) (x + y)²- 9x².

Lời giải

a) x³+ 3x²+ 3x + 1 = x³ + 3x².1 + 3x.1² + 1³ = (x + 1)³

b) (x + y)²– 9x²= (x + y)² – (3x)²

= (x + y + 3x)(x + y - 3x)

= (4x + y)(-2x + y)

Bài 7: Tính nhanh: 105² – 25.

Lời giải

105² - 25 = 105² - 5²

= (105 + 5)(105 - 5)

= 110.100

= 11000

Bài 8: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

\(\begin{array}{l}a){\rm{ }}{x^2} + {\rm{ }}6x{\rm{ }} + {\rm{ }}9\;\;\;\;\\b){\rm{ }}10x{\rm{ }}--{\rm{ }}25{\rm{ }}--{\rm{ }}{x^2}\\c)8{x^3} - \frac{1}{8}\\d)\frac{1}{{25}}{x^2} - 64{y^2}\end{array}\)

Lời giải:

a) x²+ 6x + 9

= x² + 2.x.3 + 3²

= (x + 3)²

b) 10x – 25 – x²

= -(-10x + 25 + x²)

= -(25 – 10x + x²)

= -(52 – 2.5.x + x²)

= -(5 – x)²

\(\begin{array}{l}c)8{x^3} - \frac{1}{8}\\ = (2x - \frac{1}{2})(4{x^2} + x + \frac{1}{4})\\d)\frac{1}{{25}}{x^2} - 64{y^2}\\ = {(\frac{1}{5} - x)^2} - {(8y)^2}\\ = (\frac{1}{5}x + 8y)(\frac{1}{5}x - 8y)\end{array}\)

Bài 9: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + 1/27

b) (a + b)³– (a – b)³

c) (a + b)³+ (a – b)³

d) 8x³+ 12x²y + 6xy²+ y³

e) –x³+ 9x²– 27x + 27

Lời giải:

\(\begin{array}{l}a){x^3} + \frac{1}{{27}}\\ = {x^3} + {(\frac{1}{3})^3}\\ = (x + \frac{1}{3})({x^2} - \frac{x}{3} + \frac{1}{9})\end{array}\)

b) (a + b)³– (a – b)³

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b).(a – b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b²+ a² – 2ab + b²)

= 2b.(3a²+ b²)

c) (a + b)³+ (a – b)³

= [(a + b) + (a – b)][(a + b)² – (a + b)(a –b) + (a – b)²]

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² – a² + b² + a² – 2ab + b²)

= 2a.(a² + 3b²)

d) 8x³+ 12x²y + 6xy²+ y³

= (2x)³ + 3.(2x)².y + 3.2x.y² + y³

= (2x + y)³

e) –x³+ 9x²– 27x + 27

= 27 – 27x + 9x² – x³

= 3³ – 3.3².x + 3.3.x² – x³

= (3 – x)³

Bài 10: Tìm x, biết:

a) 2 – 25x² = 0

 b) \({x^2} - x + \frac{1}{4}\) = 0

Lời giải:

\(\begin{array}{l}a)2 - 25{x^2} = 0\\ \Leftrightarrow {(\sqrt 2 )^2} - {(5x)^2} = 0\\ \Leftrightarrow (\sqrt 2  - 5x)(\sqrt 2  + 5x) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt 2  = 5x\\\sqrt 2  =  - 5x\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt 2 }}{5}\\x =  - \frac{{\sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\end{array}\)

\(\begin{array}{l}b){x^2} - x + \frac{1}{4} = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 2.x.\frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})^2} = 0\\ \Leftrightarrow {(x - \frac{1}{2})^2} = 0\\ \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}\end{array}\)

Bài 11. Tính nhanh:

a) 73² - 27²;    b) 37² - 13²;     c) 2002² - 2²

Lời giải:

a) 73² - 27² = (73 + 27)(73 – 27) = 100.46 = 4600

b) 37² - 13² = (37 + 13)(37 – 13) = 50.24 = 100.12 = 1200

c) 2002² - 2² = (2002 + 2)(2002 – 2) = 2004 .2000 = 4008000