CHUYÊN ĐỀ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO – PHẦN II

CHUYÊN ĐỀ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ NÂNG CAO

– PHẦN II

I/ LÍ THUYẾT:

1/ Các phương pháp đã học lớp 8: (Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm hạng tử)

2/ Phương pháp tách hạng tử:

a/ Phân tích đa thức ax² + bx + c ta tách bx thành b₁x + b₂x sao cho b₁b₂ = ac.

                    + Tìm tích ac

                    +Phân tích ac ra tích 2 số nguyên b₁, b₂ bất kỳ

                    + Chọn cặp thừa số sao cho: b₁ + b₂ = ac.

Ví dụ: Phân tích 3x² – 8x + 4  có a = 3; b = -8; c = 4

ac = 12 = 1.12 = 3.4 = 2.6 = (-1).(-12) = (-3).(-4) = (-2).(-6) ta chọn cặp số -2 và -6 vì (-2) + (-6) = (-8)

Nên: 3x² – 8x + 4 = 3x² – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2)

Lưu ý: Nếu a = 1 thì x² + bx + c = (x + b₁)(x + b₂) với b₁ +  b₂ = b và b₁.b₂ = c

b/ Tách hạng tử để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: 4x² – 4x – 3 = 4x² – 4x + 1 – 4 = (2x – 1)² – 2² = (2x – 1 – 2)(2x – 1 + 2) = (2x – 3)(2x  + 1)

c/ Đa thức từ bậc 3 trở lên ta thường sử dung theo cách tìm nghiệm của đa thức : “a gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0” và khi a là nghiệm của đa thức f(x) thì f(x) chứa thừa số x – a; tức là ta tách các hạng tử sao cho cho có thừa số chung x – a.

          + Nghiệm nguyên của đa thức  nếu có phải là ước của hạng  tử  tự  do (hạng tử không chứa x)

          + Trường hợp đặc biệt nếu  f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + ax + a

* có tổng các hệ số: a_n + a_n-n + … + a = 0 thì x = 1 là nghiệm của f(x)

                    * Tổng hệ số cùa các số hạng bậc chẵn bằng tổng hệ số của các số hạng bậc lẻ thì x = -1 là nghiệm của f(x).

Ví dụ: 4x³ – 13x² + 9x – 18

Ta thấy f(3) = 0 nên x = 3 là nghiệp của đa thức đã cho. Hay đa thức trên chứa thừ số x – 3. Do đó ta có cách tách như sau:

4x³ – 13x² + 9x – 18 = 4x³ – 12x² – x² + 3x + 6x – 18 = 4x²(x – 3) – x(x – 3) + 6(x – 3)

                              = (x – 3)(4x² – x + 6)

3/ Phương pháp thêm bớt cùng một số hạng:

a/ Thêm bớt để xuất hiện hiệu của 2 bình phương:

Ví dụ: x⁴ + 81 =  (2x²)² + 9² + 36x² – 36x² = (2x² + 9)² – (6x)² = (2x² – 6x +9)(2x² + 6x + 9)

b/ Thên bớt cùng một số hạng đề xuất hiện thừa số chung:

Ví dụ: x⁷ + x² + 1 = x⁷ – x + x² + x + 1

= x(x⁶ – 1) + (x² + x + 1) = x(x³ – 1)(x³ + 1) + (x² + x + 1)

= x(x³ + 1)(x – 1) (x² + x + 1) + (x² + x + 1) = (x² + x + 1)[ x(x³ + 1)(x – 1) + 1]

= (x² + x + 1)(x⁵ – x⁴ + x³ – x² + x – 1)

* Chú ý: Các đa thức dạng: x^3m+2 + x³ⁿ⁺¹ + 1 luôn chứa thừa số x² + x + 1

4/ Phương pháp đổi biến:

Ví dụ: Phân tích:

x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128

= (x² + 10x)(x² + 10x + 24) + 128

          Đặt y = x² +10x + 12 thì biểu thức đã cho trở thành :

(y – 12)(y + 12) + 128 = y² – 12² + 128 = y² – 16 = (y – 4)(y + 4)

 = (x² +10x + 12 – 4)( x² +10x + 12 + 4) = (x² +10x + 8)( x² +10x + 16)

= (x + 2)(x + 8) (x² +10x + 8)

5/ Phương pháp hệ số bất định:

Sử dụng khi không tìm được nghiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ

Ví dụ: x⁴ – 6x³ + 12x² – 14x + 3     (1)

 Nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì 2 nhân tử phải là bậc 2 và có dạng:

(x² + ax + b)(x² + cx + d) = x⁴ + (a + c)x³ + (ac + b + d)x² + (ad + bc)x + bd

Đồng nhất thức với (1) ta được hệ điều kiện: \(\begin{array}{l}\\\end{array}\)\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c =  - 6}\\{ac + b + d = 12}\\{ad + bd =  - 14}\\{bd = 3}\end{array}} \right.\)

Xét bd = 3 với b,d \( \in \) Z từ đó ta chọn b = 3 => d = 1; hệ điều kiện trở thành:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a + c =  - 6}\\{ac = 8}\\{a + 3c =  - 14}\end{array}} \right.\)

=> 2c = -14 –(-6) = -8; Do đó c = -4; a = -2.

Vậy đa thức đã cho là: (x² – 2x + 3)(x² – 4x + 1)

II/ BÀI TẬP:

Phân tích thành nhân tử:

1/

a/ a³ + 4a² – 7a – 10                  

b/ x³ – 6x² + 11x – 6                           

c/ x³ + x² – x + 2

d/ x³ + 5x² + 8x + 4                            

e/ x³ – 9x² + 6x + 16                           

f/ x⁴ – 4x² – 5

2/

a/ 6x² – 11x + 3                        

b/ 2x² – 5xy – 3y²                     

c/ 2x² + 3x – 27

d/ 2x² – 5xy + 3y²                     

e/ x³ + 2x – 3                                      

f/ x³ – 7x + 6

g/ x² + 8x – 20                          

h/ x³ – x² – 4

3/

a/ x² + 7x + 12                          

b/ x² + 13x + 36                        

c/ x² – 8x + 15

d/ t² – 9x + 20                                     

e/ x² + 9x + 8                                      

f/ y² + 11y + 28

g/ b² + 5b + 4                                      

h/ 2t + 99 – t²                                      

i/ m² – 2m – 15

4/

a/ 3x² – 10x – 8                         

b/ 2x² – 7x – 4                          

c/ 3x² – x – 4

d/ 5x² + x – 18                          

e/ 3x² – 4x – 15                        

f/ 6x² + 23x + 7

5/

a/ (x² – 1 + x)(x² – 1 + 3x) + x²                    

b/ (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + 1

c/ (x² – 4x)² + (x – 2)² – 10                                     

d/ (2x² + 3x – 1) – 5(2x² + 3x + 3) + 24

e/ (x² + x) – 2(x² + x) – 15                                      

f/ (x² + x + 1) (x² + x + 2) – 12

g/ x² + 2xy + y² – x – y – 12                                   

h/ (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 5) – 24

6/

a/ a³ + 9a² + 11a – 21                

b/ x³ – 6x² – x + 30                             

c/ 9x³ – 15x² – 32x -12

d/ x⁴ + 2x³ – 16x²  - 2x + 15                         

e/ 2x⁴ - x³ – 9x² + 13x  - 5                             

7/

a/ 4x⁴ – 5x² + 1               

b/ a⁴ + 4                

c/ a⁴ + a² + 1                   

d/ a⁸ + a⁴ + 1

e/ x⁵ + x⁴ + 1                             

f/ x⁴ + 2x³ + 1                           

g/ x⁷ + x⁵ + 1                            

h/ 2x⁴ – x² -1

8/

a/ ab(a + b) – bc(b + c) + ca(c + a) + abc                          

b/ a(b² + c²) + b(c² + a²) + c(a² + b²) + 2abc

c/ (a – x)y³ – (a – y)x³ + (x – y)a³                                     

d/ x(x² –z²) + y(z² – x²) + z(x² – y²)

e/ (x + y + z)³ – x³ – v³ – z³                                               

f/ xy² – xz² + yz² – yx² + zx² – zy²      

9/ CMR: A = (n + 1)⁴ + n⁴ + 1 chia hết cho một số chính phương khác 1 với n nguyên dương.

10/ CMR tích 4 số tự nhiên liên tiếp cộng thêm 1 là một số chính phương.

11/ Tìm các số nguyên a, b, c sao cho: (x + a)(x – 4) – 7 = (x + b)(x + c)

12/ Tìm các số hữu tỉ a, b, c sao cho x³ + ax² + bx + c phân tích thành nhân tử được (x + a)(x + b)(x + c)

13/ Cho đa thức P(x) = 2x⁴ – 7x³ – 2x² + 13 x + 6

          a/ Phân tích P(x) thành nhân tử

          b/ CMR: P(x) chia hết cho 6 với mọi x \( \in \) Z

14/ Cho đa thức P(x) = x⁴ – 3x³ + 5x²  - 9x + 6

          a/ Trong trường hợp x là một số nguyên dương. CMR: P(x) \( \vdots \) 6

          b/ Tìm giá trị của x để P(x) = 0

15/ Cho a + b + c = 1 và a² + b² + c² = 1

          a/ Nếu \(\frac{x}{a} = \frac{y}{b} = \frac{z}{c}\); CMR xy + yz + zc = 0

          b/ Nếu a³ + b³ + c³ = 1 Tìm giá trị của a, b, c.

Gợi ý: a/ áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau và HĐT

          b/ Ap dụng kết quả câu 8e

16/ Cho 3 số phân biệt a,b, c. CMR: A = a⁴(b – c) + b⁴(c –a) + c⁴(a –b) luôn khác 0

Gợi ý: Phân tích A = ½(a – b)(a – c)(b – c)[(a + b)² + (a + c)² + (b + c)²] nên khác 0

17/ Phân  tích thành nhân tử: A = 2a²b² + 2b²c² + 2a²c² – a⁴ – b⁴ – c⁴

          CMR nếu a, b, c là 3 cạnh của tam giác thì A > 0

Gợi ý: A = ( a + b + c)(a + b – c)( c + a – b)(c – a + b) chứng minh A>0