Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

I.Lý thuyết: Bài toán về tiếp tuyến với đường cong:

Cách 1: Dùng tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x₀). (x – x₀) + y₀

1.Lập phương trình tiếp tuyến với đường cong tại điểm M(x₀, y₀) thuộc đồ thị hàm số (tức là tiếp tuyến duy nhất nhận M(x₀; y₀) làm tiếp điểm).

Phương trình tiếp tuyến với hàm số (C): y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀) ∈ (C)

(hoặc tại h x = x₀ ) có dạng: y =f’(x₀).(x – x₀) + y₀.

2.Lập phương trình tiếp tuyến d với đường cong đi qua điểm A (x_A, y_A) cho trước, kể cả điểm thuộc đồ thị hàm số (tức là mọi tiếp tuyến đi qua A(x_A, y_A)).

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x₀, y₀), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: y = f’(x).(x – x₀) + y₀ (d).

Điểm A(x_A, y_A) ∈ d, ta được: y_A = f’(x₀). (x_A – x₀) + y₀ => x₀

Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

3. Lập phương tiếp tuyến d với đường cong biết hệ số góc k

Cho hàm số (C): y = f(x). Giả sử tiếp điểm là M(x₀;y₀), khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng: d: y = f’(x₀).(x – x₀) + y₀.

Hoành độ tiếp điểm của tiếp tuyến d là nghiệm của phương trình:

f’(x₀) = k => x₀, thay vào hàm số ta được y₀ = f(x₀).

Ta lập được phương trình tiếp tuyến d: y = f’(x₀). (x – x₀) + y₀.

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc

Phương trình đường thẳng đi qua một điểm M(x₀; y₀) có hệ số góc k có dạng;

d:y = g’(x) = k.(x – x₀) + y₀.

Điều kiện để đường thằng y = g(x) tiếp xúc với đồ thị hàm số y = f(x) là hệ phương trình sau có nghiệm: \(\left\{\begin{matrix} f(x)=g(x) & \\ f'(x)=g'(x) & \end{matrix}\right.\)
Từ đó lập được phương trình tiếp tuyến d.

II. Bài tập

Loại 1: Cho hàm số y =f(x). Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm M₀(x₀; y₀) ∈ (C).

Giải

Phương trình tiếp tuyến tại M₀ có dạng: y = k(x – x₀) + y₀  (*)

Với x₀ là hoành độ tiếp điểm;

Với y₀ = f(x₀) là tung độ tiếp điểm;

Với k = y’(x₀) = f’(x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến.

Để viết được phương trình tiếp tuyến ta phải xác định được x₀; y₀ và k.

MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại M₀(x₀;y₀) ∈ (C)

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x₀ ta được hệ số góc

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 2: Cho trước hoành độ tiếp điểm x₀

-Tính đạo hàm  của hàm số, thay x₀ ta được hệ số góc.

- Thay x₀ vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Dạng 3: Cho trước tung độ tiếp điểm y₀

-Giải phương trình y₀ = f(x₀) để tìm x₀.

-Tính đạo hàm của hàm số, thay x₀ ta được hệ số góc.

Áp dụng (*) ta được phương trình tiếp tuyến cần tìm.

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x₀ thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Dạng 4: Cho trước hệ số góc của tiếp tuyến k = y’(x₀) = f’(x₀)

-Tính đạo hàm và giải phương trình k = y’(x₀) = f’(x₀) để tìm x₀

- Thay x₀ vào hàm số ta tìm được tung độ tiếp điểm cần tìm.

Chú ý: Có bao nhiêu giá trị của x₀ thì có bấy nhiêu tiếp tuyến.

Chú ý: Một số dạng khác

-Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng : y = ax + b thì điều này 

<=> y’(x₀). a = -1  ⇔ y’(x_{0) = -1/a}

... Quay về dạng 4.

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng

y = ax + b thì điều này  ⇔ y’(x₀) = a… Quay về dạng 4.

- Khi giả thiết yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm với đường thẳng y = ax + b thì việc đầu tiên là tìm tọa độ giao điểm của (C) và đường thẳng… Quay về dạng 1.

Chú ý:

Cho hai đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ với a₁ là hệ số góc của đường thẳng d₁ và y = a₂x + b₂ với a₂ là hệ số góc của đường thẳng d₂.