Bài toán tiếp điểm

BÀI TOÁN TIẾP ĐIỂM

Bài toán tổng quát: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Tìm tọa độ điểm M₀ ∈ (C) thỏa mãn điều kiện cho trước.

Phương pháp:

Bước 1: Giả sử M₀ ∈ (C) với y₀ = f(x₀)

Bước 2: Từ điều kiện cho trước dẫn tới một phương trình (hoặc bất phương trình) theo x₀, từ đó suy ra y₀ và kết luận về điểm cần tìm.

Loại 1: Tìm điểm liên quan tới tiếp tuyến

VÍ DỤ MINH HỌA

Giải

Gọi M(a; b) là điểm cần tìm. M thuộc d nên b = -3a + 2.

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm (x₀; y₀) là:

y= (3x₀² – 3)(x – x₀) + x₀³ – 3x₀ + 2.

Tiếp tuyến đi qua M(a; b) ⇔ - 3a + 2 =(3x₀² – 3)(a – x₀) + x₀³ – 3x₀ + 2.

Ví dụ 3: Cho hàm số y =x(x² – 1) (1). Tìm trên (C) hai điểm M, N phân biệt sao cho MN = 2 và các tiếp tuyến với (C) tại hai tiếp điểm M, N là song song với nhau.

Giải

Xét 2 điểm M(x₁; y₁), N(x₂; y₂) phân biệt trên (C).

Các tiếp tuyến với (C) tại hai tiếp điểm M, N là song song với nhau nên k_M = k_N

⇔3x₁² – 1 = 3x₂² – 1 => x₁ = -x₂ (loại trường hợp x₁ = x₂ vì M, N phân biệt)

Suy ra M(x₁, x₁³ – x₁), N(-x₁, - x₁³ + x₁) là đối xứng nhau qua O.

Do đó MN = 2 ⇔ OM = 1 ⇔ x₁² + (x₁³ – x₁)² = 1

⇔x₁⁶ – 2x₁⁴ + 2x₁² – 1= 0 ⇔ x₁² = 1.

Vậy M(1;0), N(-1;0) là hai điểm cần tìm.