LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

 LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

A. Lý thuyết

1. Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Kí hiệu ước chung lớn nhất của các số a, b, c là ƯCLN (a, b, c).

2. Cách tìm ƯCLN

Muốn tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn 1, ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Lưu ý:

a) Nếu các số đã cho không có thừa số nào chung thì ƯCLN của chúng bằng 1.

Hai hay nhiều số có ƯCLN bằng 1 được gọi là những số nguyên tố cùng nhau.

b) Trong các số đã cho, nếu có số nhỏ nhất là ước cảu số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

3. Cách tìm ước chung.

Muốn tìm ước chung của các số đã cho ta có thể tìm các ước của ƯCLN của các số đó.

Như vậy, tập hợp các ước chung của các số đã cho là tập hợp các ước của ƯCLN của các số đó.

B. Bài tập

Bài 1. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Tìm ƯCLN của:

a) 56 và 140;                            b) 24, 84, 180;

c) 60 và 180;                            d) 15 và 19.

Giải bài:

a) Ta có \(56{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.7;{\rm{ }}140{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5.7\). Do đó \({\rm{U}}CLN{\rm{ }}\left( {56,{\rm{ }}140} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}\;.7{\rm{ }} = {\rm{ }}28\);

b) Ta có \(24{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3;{\rm{ }}84{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.7;{\rm{ }}180{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{.3^2}.5.\)

Vậy \({\rm{U}}CLN{\rm{ }}\left( {24,{\rm{ }}84,{\rm{ }}180} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}\;.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12\).

c) Vì \(180 \vdots 60\) nên ƯCLN (60, 180) = 60;

d) ƯCLN (15, 19) = 1.

Bài 2. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Tìm ƯCLN của:

a) 16, 80, 176;                                       b) 18, 30, 77.

Giải bài:

a) Vì \(80 \vdots 16\) và \(176 \vdots 16\) nên ƯCLN (16, 80, 176) = 16;

b) Ta có \(18{\rm{ }} = {\rm{ }}{2.3^2}\;;{\rm{ }}30{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5;{\rm{ }}77{\rm{ }} = {\rm{ }}7{\rm{ }}.{\rm{ }}11\). Do đó 18, 30, 77 không có ước chung nào khác 1. Vậy ƯCLN (18, 30, 77) = 1.

Bài 3. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Có hai số nguyên tố cùng nhau nào mà cả hai đều là hợp số không?

Giải bài:

Có hai số nguyên tố cùng nhau mà cả hai đều là hợp số. Ví dụ 4 và 9.

Thật vậy \(4{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2};{\rm{ }}9{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^2}\), chúng là những hợp số mà không có ước nguyên tố nào chung. Vì thế ƯCLN (4, 9) = 1; nghĩa là 4 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau.

Bài 4. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Tìm ƯCLN rồi tìm các ước chung của:

a) 16 và 24;              b) 180 và 234;                        c) 60, 90, 135.

Giải bài:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a){\rm{ U}}CLN{\rm{ }}\left( {16,{\rm{ }}24} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}8,{\rm{ U}}C{\rm{ }}\left( {16,{\rm{ }}24} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4;{\rm{ }}8} \right\};}\\{b){\rm{ }}180{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}.5;{\rm{ }}234{\rm{ }} = {\rm{ }}2{\rm{ }}{{.3}^2}\;.13;}\\{ =  > UCLN{\rm{ }}\left( {180,{\rm{ }}234} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2}\; = {\rm{ }}18,{\rm{ U}}C{\rm{ }}\left( {180,{\rm{ }}234} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9;{\rm{ }}18} \right\};}\\{c){\rm{ }}60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5;{\rm{ }}90{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2}.5;{\rm{ }}135{\rm{ }} = {\rm{ }}{3^3}.5.{\rm{ }}}\\{ =  > UCLN{\rm{ }}\left( {60,{\rm{ }}90,{\rm{ }}135} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}3.5{\rm{ }} = {\rm{ }}15;{\rm{ U}}C{\rm{ }}\left( {60,{\rm{ }}90,{\rm{ }}135} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}3;{\rm{ }}5;{\rm{ }}15} \right\}.}\end{array}\)

Bài 5. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng \(420 \vdots a\) và \(700 \vdots a\).

Giải bài:

Theo bài ra ta có: \(420 \vdots a\) và \(700 \vdots a\); a là số tự nhiên, a lớn nhất.

Do đó: a = ƯCLN(420;700)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{420{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5.7}\\{700{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.5}^2}.7}\\{UCLN\left( {420;700} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5{\rm{ }}.7{\rm{ }} = {\rm{ }}140}\end{array}\)

Vậy a = 140

Bài 6. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Tìm các ước chung lớn hơn 20 của 144 và 192.

Giải bài:

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{144{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}{{.3}^2}}\\{192{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^6}.3}\\{UCLN\left( {144;{\rm{ }}192} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}48}\\{UC{\rm{ }}\left( {144;{\rm{ }}192} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;2;3;4;6;8;12;24;48} \right\}}\end{array}\)

Vậy các ước chung của 144 và 192 lớn hơn 20 là: 24;

Bài 7. (SGK Toán 6 tập 1 trang 56)

Lan có một tấm bìa hình chữ nhật kích thước 75cm và 105cm. Lan muốn cắt tấm bìa thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết, không còn thừa mảnh nào. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo cạnh của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xentimét).

Giải bài:

Để cắt hết tấm bìa thành những hình vuông bằng nhau thì độ dài cạnh hình vuông phải là một ước chung của chiều rộng và chiều dài của tấm bìa. Do đó muốn cho cạnh hình vuông là lớn nhất thì độ dài của cạnh phải là ƯCLN (75, 105).

Vì \(75{\rm{ }} = {\rm{ }}{3.5^2}\;;{\rm{ }}105{\rm{ }} = {\rm{ }}3.5.7\) nên ƯCLN (75, 105) = 15.

ĐS: 15cm.

Bài 8. (SGK Toán 6 tập 1 trang 57)

Tìm số tự nhiên x, biết rằng \(112 \vdots x,{\rm{ }}140 \vdots x{\rm{ ; }}10{\rm{ }} < {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}20.\)

Giải bài:

Theo đầu bài, x là một ước chung của 112 và 140. Vì \(112{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}\;.7;\)

\(140{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5.7\) nên ƯCLN (112, 140) = \({2^{2\;}}.7{\rm{ }} = {\rm{ }}28\). Mỗi ước chung cuẩ 112 và 140 cũng là ước của 28 và ngược lại. Trong số các ước của 28 chỉ có 14 thỏa mãn điều kiện 10 < 14 < 20.

ĐS: x = 14.

Bài 9. (SGK Toán 6 tập 1 trang 57)

Mai và Lan mỗi người mua cho tổ mình một số hộp bút chì màu. Mai mua 28 bút, Lan mua 36 bút. Số bút trong các hộp bút đều bằng nhau và số bút trong mỗi hộp lớn hơn 2.

a) Gọi số bút trong mỗi hộp là a. Tìm quan hệ giữa số a với mỗi số 28, 36, 2.

b) Tìm số a nói trên.

c) Hỏi Mai mua bao nhiêu hộp bút chì màu? Lan mua bao nhiêu hộp bút chì màu?

Giải bài:

a) Số bút trong mỗi hộp là a và giả sử Mai đã mua x hộp được 28 bút. Do đó 28 = a . x; nghĩa là a là một ước của 28. Tương tự, Lan đã mua 36 bút nên a cũng là một ước của 36. Hơn nữa a > 2.

b) Theo câu a) thì a là một ước chung của 28 và 36.

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{28{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.7,{\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.{\rm{ }}{3^2}.}\\\begin{array}{l}UCLN{\rm{ }}\left( {28,{\rm{ }}36} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}\; = {\rm{ }}4.{\rm{ }}\\ =  > UC{\rm{ }}\left( {28,{\rm{ }}36} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}4} \right\}.\end{array}\end{array}\)

Vì a là một ước chung và lớn hơn 2 nên a = 4.

c) Số hộp bút Mai đã mua là x và 4 . x = 28 nên x = 28 : 4 = 7.

Gọi số hộp bút Lan đã mua là y, ta có 4 . y = 36. Do đó y = 36 : 4 = 9.

Vậy Mai đã mua 7 hộp, Lan đã mua 9 hộp.

Bài 10. (SGK Toán 6 tập 1 trang 57)

Đội văn nghệ của một trường có 48 nam và 72 nữ về một huyện để biểu diễn. Muốn phục vụ đồng thời tại nhiều địa điểm, đội dự định chia thành các tổ gồm cả nam và nữ, số nam được chia đều vào các tổ, số nữ cũng vậy. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu tổ? Khi đó mỗi tổ có bao nhiêu nam, bao nhiêu nữ?

Giải bài:

Muốn cho số nam và số nữ được chia đều vào các tổ và số tổ là nhiều nhất thì số cần tìm là ƯCLN (48, 72).

Vì \(48{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}.3;{\rm{ }}72{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{.3^2}\;\) nên ƯCLN (48, 72) \( = {\rm{ }}{2^3}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}\).

Vậy số tổ là 24. Mỗi tổ có 2 nam và 3 nữ.