Luyện tập ước chung lớn nhất

 LUYỆN TẬP

ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Câu 1: Tìm ước chung lớn nhất của:

a, 40 và 60

b, 36,60 và 72

c, 13 và 20

d, 28,39 và 35

Lời giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{a,{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.5}\\{60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5}\\{UCLN\left( {40;60} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5{\rm{ }} = {\rm{ }}20}\\{b,{\rm{ }}36{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}}\\{60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5}\\{72{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{{.3}^2}}\\{UCLN\left( {36;60;72} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12}\end{array}\)

c, 13 là số nguyên tố nên UCLN(13;20) = 1

\(\begin{array}{*{20}{l}}{d,{\rm{ }}28{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.17}\\{39{\rm{ }} = {\rm{ }}{{3.1}^3}}\\{35{\rm{ }} = {\rm{ }}5.7}\\{UCLN\left( {28;39;35} \right) = 1}\end{array}\)

Câu 2: Tìm ước chung lớn nhất rồi tìm các ước chung của 90 và 126

Lời giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{90{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2}.5}\\{126{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2}.7}\\{UCLN\left( {90;126} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^2} = {\rm{ }}18}\\{UC\left( {90;126} \right){\rm{ }} = \left\{ {1;2;3;6;9;18} \right\}}\end{array}\)

Câu 3: Tìm số tự nhiên a lớn nhất, biết rằng \(480 \vdots a\) và \(600 \vdots a\)

Lời giải:

Vì \(480 \vdots a\) và \(600 \vdots a\) nên \(a \in UC\left( {480;{\rm{ }}600} \right)\)

Vì a là số tự nhiên lớn nhấy nên a là UCLN của 480 và 600

Ta có: \(480{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}.3.5\)

\(600{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}{.3.5^2}\)

\(UCLN\left( {480;600} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3.5{\rm{ }} = {\rm{ }}120\)

Vậy a = 120

Câu 4: Hùng muốn cắt một tấm hình chữ nhật có kích thước 60cm và 96cm thành các mảnh nhỏ hình vuông bằng nhau sao cho tấm bìa được cắt hết. Tính độ dài lớn nhất của cạnh hình vuông (số đo của hình vuông nhỏ là một số tự nhiên với đơn vị là xen ti mét)

Lời giải:

Vì tấm bìa được cắt hết nên cạnh của hình vuông là ước chung của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật. Khi đó độ dài cạnh hình vuông lớn nhất chính là UCLN của chiều dài và chiều rộng hình chữ nhật. Ta có: \(60{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5;{\rm{ }}96{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}.3\)

\(UCLN\left( {60;96} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12\)

Vậy cạnh hình vuông lớn nhất bằng 12 cm

Câu 5: Tìm số tự nhiên x biết rằng \(126 \vdots x;{\rm{ }}210 \vdots x,15{\rm{ }} < {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}30\)

Lời giải:

Vì \(126 \vdots x\) và \(210 \vdots x{\rm{ }}\)nên \(x \in UC\left( {126;{\rm{ }}210} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{l}}{126{\rm{ }} = {\rm{ }}2.32.7}\\{210{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5.7}\\{UCLN\left( {126;210} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.7{\rm{ }} = {\rm{ }}42}\\{UC\left( {126;210} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;2;3;6;7;14;21;42} \right\}}\end{array}\)

Vì 15 < x < 30 nên x = 21

Câu 6: Ngọc và Minh mỗi người mua một số bút chì màu, trong mỗi hộp đều có từ hai bút trở lên và số bút ở các hộp đều bằng nhau. Tính ra Ngọc mua 20 bút, Minh mua 15 bút. Hỏi mỗi hộp bút chì màu có bao nhiêu chiếc?

Lời giải:

Vì số bút trong mỗi hộp bút bằng nhau và trong mỗi hộp có từ hai nút trở lên nên số bút trong mỗi hộp là ước chung của 20 và 15.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{20{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.5}\\{15{\rm{ }} = {\rm{ }}3.5}\\{UCLN\left( {20;15} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}5}\\{UC\left( {20;15} \right) = \left\{ {1;5} \right\}}\end{array}\)

Vì trong mỗi hộp có từ hai bút trở lên nên suy ra mỗi hộp có 5 bút

Câu 7: Một đội y tế có 24 bác sĩ và 108 y tá. Có thể chi đội y tế đó nhiều nhất thành mấy tổ để số bắc sĩ và số y tá được chia đều vào các tổ?

Lời giải:

Số tổ nhiều nhất chính là ước chung lớn nhất của số bác sĩ và y tá.

\(\begin{array}{*{20}{l}}{24{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3}\\{108{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^3}}\\{UCLN\left( {24;108} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} = {\rm{ }}12}\end{array}\)

Vậy có thể chia được nhiều nhất là 12 tổ.

Câu 8: Trong các số sau, hai số nào là hai số nguyên tố cùng nhau?

12; 25; 30; 21

Lời giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{12{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3}\\{25{\rm{ }} = {\rm{ }}{5^2}}\\{30{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.5}\\{21{\rm{ }} = {\rm{ }}3.7}\end{array}\)

Suy ra: UCLN(12;25) = 1 và UCLN(25;21) =1

Câu 9: Tìm các ước chung của 108 và 180 mà lớn hơn 15.

Lời giải:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{108{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^3}}\\{180{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}.5}\\{UCLN\left( {108;{\rm{ }}180} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}\; = {\rm{ }}36}\\{UC\left( {108;{\rm{ }}180} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}\left\{ {1;{\rm{ }}2;{\rm{ }}3;{\rm{ }}4;{\rm{ }}6;{\rm{ }}9;{\rm{ }}12;{\rm{ }}18;{\rm{ }}36} \right\}}\end{array}\)

Suy ra ước chung của 108 và 180 mà lớn hơn 15 là 18 và 36

Câu 10: Cho biết \(b \vdots a.\) Tìm UCLN(a,b), cho ví dụ

Lời giải:

Vì \(b \vdots a.\) nên UCLN (a,b) = a

Ví dụ: \(16 \vdots 9\)

UCLN(8;16) = 8

Câu 11: Trong một buổi liên hoan, ban tổ chức đã mua 96 cái kẹo, 36 cái bánh và chia đều ra các đĩa, mỗi đĩa gồ cả keo và bánh. Có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa, mỗi đĩa bao nhiêu cái kẹo bao nhiêu cái bánh?

Lời giải:

Vì số kẹo và bánh được chi đều ra các đĩa nên số đĩa là ước chung của số kẹo và bánh

\(\begin{array}{*{20}{l}}{96{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^5}.3}\\{36{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}{{.3}^2}}\\{UCLN\left( {96;36} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}12}\end{array}\)

Vậy có thể chia được nhiều nhất 12 đĩa

Số kẹo trong một đĩa là: 96 : 12 = 8 cái

Số bánh trong một đĩa là: 36 : 12 = 3 cái

Câu 12: Lớp 6A có 54 học sinh, lớp 6B có 42 học sinh, lớp 6C có 48 học sinh. Trong ngày khai giảng, ba lớp cùng xếp thành một số hàng dọc như nhau để diễu hành mà không lớp nào có người lẻ hàng. Tính số hàng dọc nhiều nhất đê có thể xếp được.

Lời giải:

Vì số học sinh xếp đủ nên số hàng dọc là ước chung của số học sinh 3 lớp

Số hàng dọc nhiều nhất cũng là ước chung lớn nhất của số học sinh ba lớp

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{54{\rm{ }} = {\rm{ }}{{2.3}^{3\;}};{\rm{ }}42{\rm{ }} = {\rm{ }}2.3.7;{\rm{ }}48{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^4}.3}\\{UCLN\left( {54;{\rm{ }}42;{\rm{ }}48} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}2.3{\rm{ }} = {\rm{ }}6}\end{array}\)

Vậy số hàng dọc nhiều nhất xếp được là 6 hàng