LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

 LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

A. Lý thuyết

1. Bội chung nhỏ nhất của hai hay nhiều số là số nhỏ nhất khác 0 trong tập hợp các bội chung của các số đó.

Bội chung nhỏ nhất của các số a, b, c được kí hiệu là BCNN (a, b, c).

2. Cách tìm BCNN:

Muốn tìm BCNN của hai hay nhiều số ta thực hiện ba bước sau:

Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ cao nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Lưu ý:

a) Nếu các số đã cho nguyên tố cùng nhau thì BCNN của chúng là tích của các số đó.

b) Trong các số đã cho, nếu số lớn nhất là bội của các số còn lại thì BCNN của chúng là số lớn nhất ấy.

3. Cách tìm bội chung nhờ BCNN:

Đề tìm các bội chung của các số đã cho ta có thể tìm các bội của BCNN của các số đó.

B. Bài tập

Bài 1. (SGK Toán 6 tập 1 trang 59)

Tìm BCNN của:

a) 60 và 280;                                 b) 84 và 108;                               c) 13 và 15.

Giải bài: 

\(\begin{array}{*{35}{l}}
a)60\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}.3.5;\text{ }280\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}.5.7. \\
BCNN\text{ }\left( 60,\text{ }280 \right)\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}.3.5.7\text{ }=\text{ }840. \\
b)\text{ }84\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}.3.7;\text{ }108\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}{{.3}^{3}}. \\
BCNN\text{ }\left( 84,\text{ }108 \right)\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}{{.3}^{3}}.7\text{ }=\text{ }756. \\
c)\text{ }S:\text{ }BCNN\text{ }\left( 13,\text{ }15 \right)\text{ }=\text{ }195. \\
\end{array}\)

Bài 2. (SGK Toán 6 tập 1 trang 59)

Tìm BCNN của:

a) 10, 12, 15;                    b) 8, 9, 11;                  c) 24, 40, 168.

Giải bài:

\(\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}a){\rm{ }}10{\rm{ }} = {\rm{ }}2.5,12{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3,15{\rm{ }} = {\rm{ }}3.5.{\rm{ }}\\BCNN{\rm{ }}\left( {10,{\rm{ }}12,{\rm{ }}15} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3.5{\rm{ }} = {\rm{ }}60;\end{array}\\{b){\rm{ }}BCNN{\rm{ }}\left( {8,{\rm{ }}9,{\rm{ }}11} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}8.9.11{\rm{ }} = {\rm{ }}792;}\\{c){\rm{ }}24{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3,{\rm{ }}40{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.5,168{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3.7.}\\{BCNN{\rm{ }}\left( {24,{\rm{ }}40,{\rm{ }}168} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}{2^3}.3.5.7{\rm{ }} = {\rm{ }}840.}\end{array}\)

Bài 3. (SGK Toán 6 tập 1 trang 59)

Hãy tính nhẩm BCNN của các số sau bằng cách nhân số lớn nhất lần lượt với 1, 2, 3,… cho đến khi được kết quả là một số chia hết cho các số còn lại:

a) 30 và 150; b) 40, 28, 140; c) 100, 120, 200.

Giải bài:

a) BCNN (30, 150) = 150 vì 150 chia hết cho 30;

b) 140 . 2 = 280.

Vì 280 chia hết cho cả 40 và 28 và 140 nên 280 = BCNN (40, 28, 140).

c) 200 không chia hết cho 120; 200 . 2 = 400 cũng không chia hết cho 120, nhưng 200 . 3 = 600 chia hết cho cả 100 và 120 nên BCNN (100, 120, 200) = 600.

Bài 4. (SGK Toán 6 tập 1 trang 59)

Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng \(a \vdots 15{\rm{ }}{\rm{, }}a \vdots 18.\)

Giải bài:

Số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0 chia hết cho cả 15 và 18, chính là BCNN (15, 18).

ĐS: 90.

Bài 5. (SGK Toán 6 tập 1 trang 59)

Tìm các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45.

Giải bài:

BCNN (30, 45) = 90. Do đó các bội chung nhỏ hơn 500 của 30 và 45 là 0, 90, 180, 270, 360, 450.

Bài 6. (SGK Toán 6 tập 1 trang 59)

Học sinh lớp 6C khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều vừa đủ hàng. Biết số học sinh lớp đó trong khoảng từ 35 đến 60. Tính số học sinh lớp 6C.

Giải bài:

Vì khi học sinh lớp 6C xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 8 đều đủ hàng có nghĩa là số học sinh ấy là bội chung của 2, 3, 4, 8.

BCNN(2, 3, 4, 8) = 24. Mỗi bội của 24 cũng là một bội chung của 2, 3, 4, 8. Vì số học sinh của lớp 6C trong khoảng 35 đến 60 nên ta phải chọn bội của 24 thỏa mãn điều kiện này. Đó là 24.2 = 48.

Vậy lớp 6C có 48 học sinh.

Bài 7. (SGK Toán 6 tập 1 trang 60)

Cho bảng:

a) Điền vào các ô trống của bảng.

b) So sánh tích ƯCLN (a, b). BCNN (a, b) với tích a.b.

Giải bài:

Bài 8. (SGK Toán 6 tập 1 trang 60)

Tìm số tự nhiên x, biết rằng:

\(x \vdots 12,{\rm{ }}x \vdots 21,{\rm{ }}x \vdots 28{\rm{ }}{\rm{, }}150{\rm{ }} < {\rm{ }}x{\rm{ }} < {\rm{ }}300.\)

Giải bài:

Theo đầu bài x là một bội chung của 12, 21, 28, thỏa mãn điều kiện 150 < x < 300. Ta có BCNN (12, 21, 28) = 84. Do đó bội chung thỏa mãn điều kiện đã cho là 84.2 = 168.

Bài 9. (SGK Toán 6 tập 1 trang 60)

Hai bạn An và Bách cùng học một trường nhưng ở hai lớp khác nhau. An cứ 10 ngày lại trực nhật, Bách cứ 12 ngày lại trực nhật. Lần đầu cả hai cùng trực nhật vào một ngày. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn lại cùng trực nhật?

Giải bài:

Số ngày để việc trực nhật của An lặp lại là một bội của 10, của Bách là một bội của 12. Do đó khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật sau là những bội chung của 10 và 12. Vì thế khoảng thời gian kể từ lần đầu tiên cùng trực nhật đến những lần cùng trực nhật thứ hai là BCNN (10, 12).

Ta có: \(10{\rm{ }} = {\rm{ }}2.5;{\rm{ }}12{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^2}.3{\rm{ }} =  > {\rm{ }}BCNN{\rm{ }}\left( {10,{\rm{ }}12} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}60.\)

Vậy ít nhất 60 ngày sau hai bạn mới lại cùng trực nhật.

Bài 10. (SGK Toán 6 tập 1 trang 60)

Hai đội công nhân nhận trồng một số cây như nhau. Mỗi công nhân đội I phải trồng 8 cây, mỗi công nhân đội II phải trồng 9 cây. Tính số cây mỗi đội phải trồng, biết rằng số cây đó trong khoảng từ 100 đến 200.

Giải bài:

Số cây mỗi đội phải trồng là bội chung của 8 và 9. BCNN (8, 9) = 72. Số cây mỗi đội phải trồng là bội của 72. Vì 72.2 = 144 thỏa mãn điều kiện 100 < 144 < 200 nên số cây mỗi đội phải trồng là 144 cây.