Luyện tập Bội chung nhỏ nhất

 LUYỆN TẬP

BỘI CHUNG NHỎ NHẤT

Câu 1: Tìm BCNN của

a, 40 và 52

b, 42,70 và 180

c, 9, 10 và 11

Lời giải:

\(\begin{array}{*{35}{l}}a,\text{ }40\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}.5 \\52\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}{{.1}^{3}} \\BCNN\left( 40,52 \right)\text{ }=\text{ }{{2}^{3}}{{.5.1}^{3}}~=\text{ }520 \\ b,\text{ }42\text{ }=\text{ }2.3.7\\70\text{ }=\text{ }2.5.7 \\ 180\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}{{.3}^{2}}.5 \\ BCNN\left( 42,70,180 \right)\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}{{.3}^{2}}.5.7\text{ }=\text{ }1260 \\\end{array}\)

c, Vì 9, 10 và 11 là các số đôi một nguyên tố cùng nhau nên:

BCNN(9,10,11) = 9.10.11 = 990

Câu 2: Tìm các bội chung của 15 và 25 mà nhỏ nhất hơn 400

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}15\text{ }=\text{ }3.5\\25\text{ }=\text{ }{{5}^{2}} \\BCNN\left( 15;25 \right)\text{ }=\text{ }{{3.5}^{2}}~=\text{ }75 \\\end{array}\)

Bội chung của 15 và 25 mà nhỏ hơn 400 là: {0;75;150;225;300;375}

Câu 3: Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất khác 0, biết rằng \(a\vdots 126\text{ }\text{, }a\vdots 198\)

Lời giải:

Vì \(a\vdots 126\) và \(a\vdots 198\) nên a là BC(126;198)

Vì a là số tự nhiên nhỏ nhất nên \(a\in BCNN\left( 126;198 \right)\)

Ta có: \(126\text{ }\text{ }{{2.3}^{2}}.7\text{ }198\text{ }=\text{ }{{2.3}^{2}}.11\)

BCNN(126;198) = 1386

Vậy a = 1386

Câu 4: Một số sách khi xếp thành từng bó 10 cuốn, 12 cuốn, 15 cuốn, 18 cuốn đều vừa đủ bó. Biết số sách trong khoảng từ 200 đến 500. Tính số sách đó?

Lời giải:

Gọi m (\(m\in N*\)) là số sách cần tìm.

Vì xế thành từng bó 10, 12,15 và 18 cuốn đều vừa đủ bó nên số sách m là BC(10;12;15;18)

Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}10\text{ }=\text{ }2.5 \\12\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}.3  \\   15\text{ }=\text{ }3.5;\text{ }18\text{ }=\text{ }{{2.3}^{2}}  \\   BCNN\left( 10,12,15,18 \right)\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}{{.3}^{2}}.5\text{ }=\text{ }180  \\BC\left( 10,12,15,18 \right)\text{ }=\text{ }\left\{ 0;180;360;540;.. \right\}  \\\end{array}\)

Vì số sách nằm trong khoảng 200 đến 500 nên m – 360

Vậy có 360 cuốn sách

Câu 5: Hai bạn Tùng và Hải thường đến thư viện đọc sách. Tùng cứ 8 ngày đến thư viện 1 lần, Hải 10 ngày 1 lần. Lần đầu cả hai bạn cùng đến thư viện vào một ngày. Hỏi ít nhất bao nhiêu ngày thì hai bạn cùng đến thư viện?

Lời giải:

Gọi m là ngày cần tìm

Vì số ngày ít nhất nên m là BCNN của 8 và 10

Ta có: 8 = 2³; 10 = 2.5

BCNN(8,10) = 23.5 = 40

Vậy sau 49 ngày thì hai bạn cùng nhau đến thư viện.

Câu 6: Tìm các bội chung có ba chữ số của 63; 35 và 105

Lời giải:

Ta có:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   62\text{ }=\text{ }{{3}^{2}}.7;\text{ }35\text{ }=\text{ }3.7;\text{ }105\text{ }=\text{ }3.5.7  \\BCNN\text{ }\left( 63;\text{ }35;\text{ }105 \right)\text{ }=\text{ }315  \\   BC\text{ }\left( 63;\text{ }35;\text{ }105 \right)\text{ }=\text{ }\left\{ 0;\text{ }315;\text{ }630;\text{ }945;\text{ }1260.. \right\}  \\\end{array}\)

Bội chung của ba số có ba chữ số là: {315; 630; 945}

Câu 7: Cho biết \(m\vdots n\), tìm BCNN(m;n). Cho ví dụ

Lời giải:

Vì \(m\vdots n\) nên BCNN(m;n) = m

Ví dụ : \(12\vdots 4\) nên BCNN(12;4) = 12

Câu 8: Một niên đội thiếu niên khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 người. tính số đội viên của liên đội biết rằng số đó trong khoảng từ 100 đến 150

Lời giải:

Gọi m là số đội viên của liên đội

Vì xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5 đều thừa 1 người nên:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \left( m\text{ }-1 \right)\vdots 2;\text{ }\left( m\text{ }\text{ }1 \right)\vdots 3;\text{ }\left( m\text{ }\text{ }1 \right)\vdots 4;\text{ }\left( \text{ }m\text{ }\text{ }1 \right)\vdots 5  \\   =>\text{ }\left( m\text{ }\text{ }1 \right)\in BC\left( 2;3;4;5 \right)  \\   2\text{ }=\text{ }2{{~}^{3}}=3{{~}^{4}}~=\text{ }{{2}^{2}}~.5\text{ }=\text{ }5  \\BCNN\left( 2;3;4;5 \right)\text{ }=\text{ }60  \\   BC\left( 2;3;4;5 \right)\text{ }+\text{ }\left\{ 0;60;120;180 \right\}  \\\end{array}\)

Vì 100

Vậy liên đội gồm 121 đội viên

Câu 9: Một khối học sinh khi xếp hàng 2, hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 đều thiếu 1 người nhưng khi xếp hàng 7 thì vừa đủ. Biết số học sinh chưa đến 300. Tính số học sinh

Lời giải:

Gọi m là số học sinh cần tìm của khối \((\text{ }m\in N*\text{ },\text{ }m\text{ }<\text{ }300)\)

Vì xếp hàng 2. Hàng 3, hàng 4, hàng 5, hàng 6 thiếu 1 người nên:

\(\begin{array}{*{35}{l}}   \left( m+1 \right)\vdots 2;\text{ }\left( m\text{ }+\text{ }1 \right)\vdots 3;\text{ }\left( m\text{ }+\text{ }1 \right)\vdots 4;\text{ }\left( m+\text{ }1 \right)\vdots 5;\text{ }\left( m\text{ }+\text{ }1 \right)\vdots 6  \\\Rightarrow \text{ }\left( m\text{ }+\text{ }1 \right)\in BC\left( 2;\text{ }3;\text{ }4;\text{ }5;\text{ }6 \right)\text{ }v\grave{a}\text{ }m\text{ }+\text{ }1<\text{ }301  \\   2\text{ }=\text{ }2;\text{ }3\text{ }=\text{ }3;\text{ }4\text{ }=\text{ }{{2}^{2}};\text{ }5\text{ }=\text{ }5;\text{ }6\text{ }=\text{ }2.3  \\   BCNN\left( 2;\text{ }3;\text{ }4;\text{ }5;\text{ }6 \right)\text{ }=\text{ }60  \\   BC\left( 2;\text{ }3;\text{ }4;\text{ }5;\text{ }6 \right)\text{ }=\left\{ 0;\text{ }60;\text{ }120;\text{ }180;\text{ }240;\text{ }300.. \right\}  \\   m\text{ }+\text{ }1\text{ }<\text{ }301\text{ }\Rightarrow \text{ }m\text{ }+\text{ }1\in \left\{ 60;\text{ }120;\text{ }180;\text{ }240;\text{ }300 \right\}  \\   \Rightarrow \text{ }m\in \left\{ 59;\text{ }119;\text{ }179;\text{ }239;\text{ }299 \right\}  \\\end{array}\)

Ta có: các số 59; 179; 239 và 299 đều không chia hết cho 7

Vậy khối có 119 học sinh

Câu 10: Một bộ phân của máy có hai bánh xe răng cưa khớp với nhau, bánh I có 18 răng cưa, bánh xe II có 12 răng cưa. Người ta đánh dấu “x” vào hai răng cưa khớp với nhau. Hỏi mỗi bánh xe phải quay ít nhất bao nhiêu răng cưa để hai răng cưa đánh dấu ấy lại khớp với nhau ở vị trí giống lần trước? Khi đó mỗi bánh xe đã quay được bao nhiêu vòng?

Lời giải:

Gọi m là số răng cưa phải tìm \(m\in N*\)

Ta có: \(m\vdots 12\) và \(m\vdots 8\)

Vì m nhỏ nhất nên m là BCNN(8;12)

Ta có:

 \(\text{ }\begin{array}{*{35}{l}}   12\text{ }=\text{ }{{2}^{2}}.3  \\   18\text{ }=\text{ }{{2.3}^{2}}  \\\end{array}\)

BCNN(12;8) = 36

Vậy mỗi bánh xe phải quay ít nhất 36 răng cưa để hai răng cưa được đánh dấu khớp với nhau lần nữa. Khi đó:

- Bánh xe thứ nhất quay được 36 : 18 = 2 vòng

- Bánh xe thư shai quay được 36 : 12 = 3 vòng