Các dạng toán cực trị hàm số cơ bản và nâng cao

Trong bài viết trước chúng ta đã biết cách tìm cực trị của một hàm số. Tiếp theo chúng ta sẽ tìm hiểu một số dạng bài tập liên quan đến cực trị hàm số cơ bản và nâng cao. Các bài tập này chủ yếu là tìm tham số m để hàm số có cực trị thảo mãn một yêu cầu nào đó. Ta thường gặp một số dạng như sau:

${x_0}$

Dạng 1: Tìm m để hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại hoặc cực tiểu tại ${x_0}$

Phương pháp: ta sử dụng điều kiện sau:

Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\\f"({x_0}) > 0\end{array} \right.$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${x_0}$ .
Nếu $\left\{ \begin{array}{l}f'({x_0}) = 0\\f"({x_0}) < 0\end{array} \right.$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$ .

Ví dụ 1: Tìm m để hàm số $y = {\textstyle{1 \over 3}}{x^3} + \left( {{m^2} - m + 2} \right){x^2} + \left( {3{m^2} + 1} \right)x + m - 5$ đạt cực tiểu tại x = -2.

Giải

$y'\left( x \right) = {x^2} + 2\left( {{m^2} - m + 2} \right)x + 3{m^2} + 1 \Rightarrow y''\left( x \right) = 2x + 2\left( {{m^2} - m + 2} \right)$

Để hàm số đạt cực tiểu tại x = -2 thì điều kiện cần là $y'\left( { - 2} \right) = 0$ :

$\Leftrightarrow - {m^2} + 4m - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = 3\end{array} \right.$

Với $m = 3$ thì $y\left( { - 2} \right) = 8 > 0$ nên hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 2$ . Vậy $m = 3$ thỏa yêu cầu

Với $m = 1$ thì $y = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 4x - 4$ . Sử dụng bảng biến thiên ta thấy hàm số không có cực trị nên $m = 1$ không thỏa yêu cầu.

Vậy với m = 3 thì hàm số đạt cực tiểu tại x = -2.

Lưu ý: Với $m = 1$ thì $y\left( { - 2} \right) = 0$ nên ta không thể kết luận mà phải sử dụng đến bảng biến thiên.

Dạng 2: Tìm m để hàm số $y = f(x)$ có cực trị hoặc không có cực trị.

Đối với dạng toán này, ta thường chú ý đến 2 dạng hàm số chính:

1. Hàm số bậc 3: $y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\,\left( {a \ne 0} \right)$

Hàm số không có cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ vô nghiệm hoặc nghiệm kép $\Leftrightarrow$ $\Delta\le 0$ .
Hàm số có hai cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$

2. Hàm số bậc 4 trùng phương: $y = a{x^4} + b{x^2} + c\,\left( {a \ne 0} \right)$

Hàm số có 1 cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có một nghiệm duy nhất $\Leftrightarrow$ a.b>0.
Hàm số có 3 cực trị $\Leftrightarrow$ phương trình $y' = 0$ có ba nghiệm $\Leftrightarrow$ a.b<0.

Ví dụ 2: Cho hàm số $y = {x^3} - 3(m + 1){x^2} + 9x - m$ , với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đã cho có hai cực trị.

Giải

Ta có: $y' = 3{x^2} - 6(m + 1)x + 9.$

Để hàm số có hai cực trị thì phương trình y' = 0 phải có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow {x^2} - 2(m + 1)x + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow \Delta ' = {(m + 1)^2} - 3 > 0 \Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ; - 1 - \sqrt 3 } \right) \cup \left( { - 1 + \sqrt 3 ; + \infty } \right)$

Ví dụ 3: Cho hàm số $y = f(x) = m{x^3} + 3m{x^2} - \left( {m - 1} \right)x - 1$ , m là tham số. Xác định các giá trị của m để hàm số không có cực trị.

Giải

Với m = 0 $\Rightarrow y = x - 1$ $\Rightarrow$ nên hàm số không có cực trị.

Với $m \ne 0 \Rightarrow y' = 3m{x^2} + 6mx - \left( {m - 1} \right)$

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi phương trình y' = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm kép.

$\Leftrightarrow \Delta ' = 9{m^2} + 3m\left( {m - 1} \right) = 12{m^2} - 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{1}{4}$

Vậy với $0 \le m \le \frac{1}{4}$ thì hàm số không có cực trị.

Dạng 3: Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn yêu cầu.

Đây là dạng bài tập nâng cao ta thường gặp trong các đề thi đại học, cao đẳng. Để làm được dạng toán này, trước tiên ta cần nắm được phương pháp giải các dạng toán đã nêu bên trên, đồng thời phải kết hợp với một số kiến thức khác về hình học, dãy số...

Ví dụ 4: Cho hàm số $y = {x^4} - 2{m^2}{x^2} + 1\,\,\left( {{C_m}} \right)$ . Tìm m dể hàm số có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.

Giải

Trước tiên ta áp dụng phương pháp ở dạng 2 tìm m để hàm số có 3 cực trị.

Ta có: $y' = 4{x^3} - 4{m^2}x = 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right)$

$y' = 0 \Leftrightarrow 4x\left( {{x^2} - {m^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} = {m^2} (*)\end{array} \right.$

Để hàm số có 3 cực trị thì phương trình y' = 0 phải có 3 nghiệm phân biệt.

$\Leftrightarrow$ Phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt khác o $\Leftrightarrow$ $m \ne 0$

Vậy với $m \ne 0$ thì hàm số có 3 cực trị.

Bây giờ ta sẽ tìm m để 3 cực trị này tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.

Ta có: với $m \ne 0$ thì $y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow y = 1\\x = m \Rightarrow y = 1 - {m^4}\\x = - m \Rightarrow y = 1 - {m^4}\end{array} \right.$

Gọi 3 điểm cực trị lần lượt là: $A\left( {0;1} \right);B\left( { - m;1 - {m^4}} \right);C\left( {m;1 - {m^4}} \right)$

Theo tính chất của hàm số bậc 4 trùng phương thì tam giác ABC cân tại A nên để ABC vuông cân thì AB vuông góc với AC

$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

$\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0 \Leftrightarrow - {m^2} + {m^8} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\,\,(l)\\m = \pm 1\end{array} \right.$

Vậy với m = -1 và m = 1 thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Trên đây là ba dạng toán cực trị hàm số mà chúng ta thường gặp. Trong đó dạng 1 và 2 là các dạng cơ bản chúng ta phải nắm vững trước khi tìm hiểu đến dạng 3.