LUYỆN TẬP HÌNH THANG CÂN

LUYỆN TẬP HÌNH THANG CÂN

Câu 1: Hình thang cân ABCD có AB //CD, AB < CD. Kẻ các đường cao AH, BK. Chứng minh rằng: DC = CK

Lời giải:

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC:

∠(AHD) = ∠(BKC) = 90^o

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠C = ∠D (gt)

Suy ra: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn)

⇒ HD = KC

Câu 2: Hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OA = OB, OC = OD.

Lời giải:

Xét ΔADC và ΔBCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)

DC chung

Do đó: ΔADC = ΔBCD (c.g.c) ⇒ ∠C1= ∠D1

Trong ΔOCD ta có: ∠C1= ∠D1 ⇒ ΔOCD cân tại O ⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân) ⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh AB, AC lấy các điểm M, N sao cho BM = CN

a, Tứ giác BMNC là hình gì? Vì sao?

b, Tính các góc của tứ giác BMNC biết rang góc ∠A = 40o

Lời giải:

a, ΔABC cân tại A

⇒∠B = ∠C = (180^o- ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)

AB = AC (gt) ⇒ AM + BM = AN + CN

Mà BM = CN (gt) ⇒ AM = AN

⇒ ΔAMN cân tại A

⇒∠M1 = ∠N1 = (180^o- ∠A) / 2 (tính chất tam giác cân) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: ∠M1 = ∠B

⇒ MN // BC (vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BCNM là hình thang có B = C

Vậy BCNM là hình thang cân.

b, ∠B = ∠C = (180^o – 40^o) / 2 = 70^o

Mà ∠M2+ ∠B = 180^o – 70^o = 11^0o

∠N2= ∠M2= 110^o (tính chất hình thang cân)

Câu 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường phân giác BE, CF. Chứng minh rằng BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên.

Lời giải:

Xét hai tam giác AEB và AFC

Có AB = AC (ΔABC cân tại A)

∠ABE = ∠B/2 = ∠C/2 = ∠ACF

∠A là góc chung

⇒ ΔAEB = ΔAFC (g.c.g) ⇒ AE = AF ⇒ ΔAEF cân tại A

⇒ ∠AFE = (180^o− ∠A) / 2 và trong tam giác ΔABC: ∠B = (180^o− ∠A) / 2

⇒∠AFE = ∠B ⇒ FE//BC

⇒ Tứ giác BFEC là hình thang.

Vì FE//BC nên ta có: ∠FEB = ∠EBC (so le trong)

Lại có: ∠FBE = ∠EBC

⇒∠FBE = ∠FEB

⇒ ΔFBE cân ở F ⇒ FB = FE

⇒ Hình thang BFEC là hình thang cân có đáy nhỏ bằng cạnh bên (đpcm)

Câu 5: Chứng minh hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân.

Lời giải:

Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt đường thẳng DC tại K.

Ta có hình thang ABKC có hai cạnh bên BK // AC nên AC = BK

Mà AC = BD (gt)

Suy ra: BD = BK do đó ΔBDK cân tại B

⇒ ∠D1 = ∠K (tính chất hai tam giác cân)

Ta lại có: ∠C1 = ∠K (hai góc đồng vị)

Suy ra: ∠D1 = ∠C1

Xét ΔACD và ΔBDC:

AC = BD (gt)

∠D1 = ∠C1 (chứng minh trên)

CD chung

Do đó ΔACD = ΔBDC (c.g.c) ⇒ ∠(ADC) = ∠(BCD)

Hình thang ABCD có ∠(ADC) = ∠(BCD) nên là hình thang cân.

Câu 6: Tính các góc của hình thang cân, biết một góc bang 50^o

Lời giải:

Giả sử hình thang ABCD có AB // CD và ∠D = 50^o

Vì ∠C = ∠D (tính chất hình thang cân)

⇒ ∠C = 50^o

∠A + ∠D = 180^o (hai góc trong cùng phía)

⇒ ∠A = 180^o - ∠D = 180^o – 50^o = 130^o

∠B = ∠A (tính chất hình thang cân)

Suy ra: ∠B = 130^o

Câu 7: Hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB bằng cạnh bên AD. Chứng minh rằng CA là tia phân giác của góc C.

Lời giải:

Ta có:

AB = AD (gt)

AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ AB = BC do đó AABC cân tại B

⇒ ∠A = ∠C (tính chất tam giác cân)

Mặt khác: AB//CD (gt)

∠A1 = ∠C2 (hai góc so le trong)

Suy ra: ∠C1 = ∠C2

Vậy CA là tia phân giác của (BCD)

Câu 8: Hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại 0. Biết rằng OA = OC, OB = OD. Tứ giác ABCD là hình gì ? Vì sao

Lời giải:

Ta có: OA = OC (gt)

⇒ ΔOAC cân tại O

⇒∠A1= (180^o - ∠(AOC) ) / 2 (tính chất tam giác cân) (1)

OB = OD (gt)

⇒ ΔOBD cân tại O

⇒ ∠B1= (180^o - ∠(BOD) )/2 (tính chất tam giác cân) (2)

∠(AOC) = ∠(BOD) (đối đỉnh) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: ∠A1 = ∠B1

⇒ AC // BD (vì có cặp góc ở vị tri so le trong bằng nhau)

Suy ra: Tứ giác ABCD là hình thang

Ta có: AB = OA + OB

CD = OC + OD

Mà OA = OC, OB = OD

Suy ra: AB = CD

Vậy hình thang ABCD là hình thang cân.

Câu 9: Cho tam giác ABC cân tại A. Lấy điểm D trên cạnh AB, điểm E trên cạnh AC sao cho AD = AE

a, Tứ giác BDEC là hình gì? Vì sao

b, Các điểm D, E ở vị trí nào thì BD =DE = EC?

Lời giải:

a, AD = AE (gt)

⇒ ΔADE cân tại A ⇒∠(ADE) = (180o- ∠A )/2

ΔABC cân tại A ⇒ ∠(ABC) = (180o- ∠A )/2

Suy ra: ∠(ADE) = ∠(ABC)

⇒ DE // BC (Vì có cặp góc đồng vị bằng nhau)

Tứ giác BDEC là hình thang

∠(ABC) = ∠(ACB) (tính chất tam giác cân) hay ∠(DBC) = ∠(ECB)

Vậy BDEC là hình thang cân.

b, Ta có: BD = DE ⇒ ΔBDE cân tại D

∠B1 = ∠E1

Mà ∠E1 = ∠B2(so le trong)

⇒ ∠B1 = ∠B2

DE = EC ⇒ ΔDEC cân tại E

⇒ ∠D1 = ∠C1

∠D1 = ∠C2(so le trong)

⇒ ∠C1 = ∠C2

Vậy khi BE là tia phân giác của ∠(ABC), CD là tia phân giác của ∠(ACB) thì BD = DE = EC.

Câu 10: Hình thang cân ABCD có 0 là giao điểm của hai đường thắng chứa cạnh bên AD, BC và E là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng OE là đường trung trực của hai đáy.

Lời giải:

Ta có: ∠(ADC) = ∠(BCD) (gt)

⇒ ∠(ODC) = ∠(OCD)

⇒ΔOCD cân tại O

⇒ OC = OD

OA + AD = OB + BC

Mà AD = BC (tính chất hình thang cân)

⇒ OA = OB

Xét ΔADC và. ΔBCD:

AD = BC (chứng minh trên)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

CD chung

Do đói ΔADC và ΔBCD (c.c.c)

⇒ ∠D1= ∠C1

⇒ΔEDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (chứng minh trên)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Câu 11:

a, Hình thang ABCD có đáy nhỏ AB = b , đáy lớn CD = a, đường cao AH. Chứng minh rằng HA = (a - b) / 2 , HC = (a + b) / 2 (a, b có cùng đơn vị đo).

b, Tính đường cao của hình thang cân có hai đáy 10cm, 26cm và cạnh bên 17cm.

Lời giải:

a, Kẻ đường cao BK

Xét hai tam giác vuông AHD và BKC, ta có:

∠(AHD) = ∠(BKC) = 90^o

AD = BC (tỉnh chất hình thang-Cân)

∠D = ∠C (gt)

Do đó: ΔAHD = ΔBKC (cạnh huyền, góc nhọn) ⇒ HD = KC.

Hình thang ABKH có hai cạnh bên song song nên AB = HK

a – b = DC – AB = DC – HK = HD + KC = 2HD ⇒ HD = (a – b) / 2

HC = DC – HD = a - (a – b) / 2 = (a + b) / 2

b, HD = (CD – AB) / 2 = (26 – 10) / 2 = 8 (cm)

Trong tam giác vuông AHD có ∠(AHD) = 90o

AD² = AH² + HD² (định lý Pi-ta-go)

⇒ AH² = AD² - HD²

AH² = l7² - 8²= 289 – 64 = 225

AH = 15 (cm)

Câu 12: Hình thang cân ABCD có đường chéo BD vuông góc với cạnh bên BC, BD là tia phân giác của-góc D. Tính chu vi của hình thang, biết BC = 3cm.

Lời giải:

Ta có: AD = BC = 3 (cm) (tính chất hình thang cân)

∠(ABD) = ∠(BDC) (so le trong)

∠(ADB) = ∠(BDC) (gt)

⇒ (ABD) = (ABD)

⇒ΔABD cân tại A

⇒ AB = AD = 3 (cm)

ΔBDC vuông tại B

∠(BDC) + ∠C = 90^o

∠(ADC) = ∠C (gt)

Mà ∠(BDC) = 1/2 ∠(ADC) nên ∠(BDC) = 1/2 ∠C

∠C + 1/2 ∠C = 90^o ⇒ ∠C = 60^o

Từ B kẻ đường thẳng song song AD cắt CD tại E.

Hình thang ABED có hai cạnh bên song song nên AB = DE và AD = BE

⇒ DE = 3 (cm), BE = 3 (cm)

∠(BEC) = ∠(ADC) (đồng vị)

Suy ra: ∠(BEC) = ∠C

⇒ΔBEC cân tại B có ∠C = 60^o

⇒ΔBEC đều

⇒ EC = BC = 3 (cm)

CD = CE + ED = 3 + 3 = 6(cm)

Chu vi hình thang ABCD bằng:

AB + BC + CD + DA = 3 + 3 + 6 + 3 = 15 (cm)