CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT - PHẦN II

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

IV. Phương pháp tính qua các tổng đã biết

• Các kí hiệu: \(\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} = {a_1} + {a_2} + {a_3} + ... + {a_n}} \)
• Các tính chất: 

\(\begin{array}{l}1.\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{a_i} + {b_i}} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{a_i} + \sum\limits_{i = 1}^n {{b_i}} } } \\2.\sum\limits_{i = 1}^n {a.{a_i} = a\sum\limits_{i = 1}^n {{a_i}} } \end{array}\) 

Ví dụ 9: Tính tổng:

\({S_n} = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n\left( {n + 1} \right)\)

Ta có: \({S_n} = \sum\limits_{i = 1}^n {i\left( {i + 1} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{i^2} + i} \right) = \sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}}  + \sum\limits_{i = 1}^n i } } \)

Vì:

     \(\sum\limits_{i = 1}^n {i = 1 + 2 + 3 + ... + n}  = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\)          (Theo I)

     \(\begin{array}{l}\sum\limits_{i = 1}^n {{i^2}}  = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\\ =  > {S_n} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} + \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3}\end{array}\)

Ví dụ 10: Tính tổng:

\({S_n} = {1^3} + {2^3} + {5^3} + ... + {\left( {2n + 1} \right)^3}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}{s_n} = \left[ {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {{\left( {2n + 1} \right)}^3}} \right] - \left[ {{2^3} + {4^3} + {6^3} + ... + {{\left( {2n} \right)}^3}} \right]\\ = \left[ {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {{\left( {2n + 1} \right)}^3}} \right] - 8\left( {{1^3} + {2^3} + {3^3} + {4^3} + ... + {n^3}} \right)\end{array}\)

\({S_n} = \frac{{{{\left( {2n + 1} \right)}^2}{{\left( {2n + 2} \right)}^2}}}{4} - \frac{{8{n^2}{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}{4}\)   (theo (I)-3)

\(\begin{array}{l} = {\left( {n + 1} \right)^2}{\left( {2n + 1} \right)^2} - 2{n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\\ = {\left( {n + 1} \right)^2}\left( {2{n^2} + 4n + 1} \right)\end{array}\)

V. Vận dụng trực tiếp công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

* Cơ sở lý thuyết:

+ Để đếm số hạng của 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp của dãy cách nhau cùng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:

        Số số hạng =(số cuối – số đầu) : (khoảng cách) + 1

+ Để tính tổng các số hạng của một dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách nhau cùng 1 số đơn vị, ta dùng công thức:

        Tổng = (số đầu – số cuối).(số số hạng) : 2

Ví dụ 12:

Tính tổng A=19+20+21+...+132

Số số hạng của A là: \(\left( {132 - 19} \right):1 + 1 = 114\) (số hạng)m

                             \(A = 114\left( {132 + 19} \right):2 = 8607\)

Ví dụ 13: Tính tổng:

B=1+5+9+....+2005+2009

Số số hạng của B là \(\left( {2009 - 1} \right):4 + 1 = 503\)

                             \(B\left( {2009 + 1} \right).503:2 = 505515\)

Ví dụ 14: Chứng minh rằng: \(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 20 - 9k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right) = 3k\left( {k + 1} \right)\)

Từ đó tính tổng \(S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + .... + n\left( {n + 1} \right)\)

Chứng minh:

   * Cách 1:

\(\begin{array}{l}VT = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\\ = k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right] = k\left( {k + 1} \right).3 = 3k\left( {k + 1} \right)\end{array}\)

   * Cách 2:

\(\begin{array}{l}k\left( {k + 1} \right) = k\left( {k + 1} \right).\frac{{\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{3} - \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)}}{3}(*)\\ \Rightarrow 3k\left( {k - 1} \right) = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\\ \Rightarrow 1.2 = \frac{{1.2.3}}{3} - \frac{{0.1.2}}{3}\\2.3 = \frac{{2.3.4}}{3} - \frac{{1.2.3}}{3}\\...\\n\left( {n + 1} \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{3} - \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{3}\\ = \frac{{ - 1.2.0}}{3} + \frac{{\left( {n + 2} \right)n\left( {n + 1} \right)}}{3} = \frac{{\left( {n + 1} \right)n\left( {n + 2} \right)}}{3}\end{array}\)

Ví dụ 15: Chứng minh rằng:

\(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right) - \left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = 4k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\)

Từ đó tính tổng \(S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + ... + n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\)

Chứng minh:

\(\begin{array}{l}VT = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left[ {\left( {k + 3} \right) - \left( {k - 1} \right)} \right]\\ = k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right).4\end{array}\)

Rút ra: \(k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right) = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)}}{4} - \frac{{\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}{4}\)

Áp dụng:

\(\begin{array}{l}1.2.3 = \frac{{1.2.3.4}}{4} - \frac{{0.1.2.3}}{4}\\2.3.4 = \frac{{2.3.4.5}}{4} - \frac{{1.2.3.4}}{4}\\...\\\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right) = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4} - \frac{{\left( {n - 1} \right)n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{4}\end{array}\)

Cộng vế với vế ta được \(S = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}{4}\)

Bài tập đề nghị:

Tính các tổng sau

\(\begin{array}{l}1)B = 2 + 6 + 10 + 14 + ... + 202\\2)\\a.A = 1 + 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{6.2}} + {2^{6.3}}\\b.S = 5 + {5^2} + {5^3} + ... + {5^{99}} + {5^{100}}\\c.C = 7 + 10 + 13 + ... + 76\\3)D = 49 + 64 + 81 + ... + 169\\4)S = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + ... + n\left( {n + 3} \right)(n = 1,2,3,...)\\5)S = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}6)S = \frac{4}{{5.7}} + \frac{4}{{7.9}} + ... + \frac{4}{{59.61}}\\7)A = \frac{5}{{11.16}} + \frac{5}{{16.21}} + \frac{5}{{21.26}} + ... + \frac{5}{{61.66}}\\8)M = \frac{1}{{{3^0}}} + \frac{1}{{{3^1}}} + \frac{1}{{{3^2}}} + ... + \frac{1}{{{3^{2005}}}}\\9){S_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\\10){S_n} = \frac{2}{{1.2.3}} + \frac{2}{{2.3.4}} + ... + \frac{2}{{98.99.100}}\\11){S_n} = \frac{1}{{1.2.3.4}} + \frac{1}{{2.3.4.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)\left( {n + 3} \right)}}\end{array}\)

12) \(M = 9 + 99 + 999 + ... + 99.....9\) (+50 chữ số 9)

13) Cho:       

\(\begin{array}{l}{S_1} = 1 + 2\\{S_3} = 6 + 7 + 8 + 9\\{S_2} = 3 + 4 + 5\\{S_4} = 10 + 11 + 12 + 13 + 14\end{array}\)

Tính \({S_{100}} = ?\)

* Các dạng toán có liên quan đến dạng tính tổng, chẳng hạn dạng toán tìm x:

\(\begin{array}{l}14)\\a,\left( {x + 1} \right) + \left( {x + 2} \right) + \left( {x + 3} \right) + .... + \left( {x + 100} \right) = 5070\\b,1 + 2 + 3 + 4 + ... + x = 820\\c,1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} + \frac{1}{{10}} + ... + \frac{2}{{x\left( {x + 1} \right)}} = 1 + \frac{{2013}}{{2015}}\end{array}\)

Hay các bài toán chứng minh sự chia hết liên quan

15) Chứng minh:

            \(a, A = 4 + {2^2} + {2^3} + {2^4} + ... + {2^{20}}\) là lũy thừa của 3

            \(\begin{array}{l}b,B = 2 + {2^2} + {2^3} + ... + {2^{60}} \vdots 3;7;15\\c,C = 3 + {3^3} + {3^5} + ... + {3^{2015}} \vdots 13;41\\d,D = {11^9} + {11^8} + {11^7} + ... + 11 + 1 \vdots 5\end{array}\)