CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT

I. Phương pháp dự đoán và quy nạp:

Trong một số trường hợp khi gặp bài toán tính tổng hữu hạn

\({S_n} = {a_1} + {a_2} + ... + {a_n}\) (1)

Bằng cách nào đó ta biết được kết quả (dự đoán, hoặc bài toán chứng minh khi đã cho biết kết quả). Thì ta nên sử dụng phương pháp này và hầu như thế nào cũng chứng minh được.

Ví dụ 1: Tính tổng S_n =1+3+5 +… + (2n -1)

Thử trực tiếp ta thấy : S₁ = 1

S₂ = 1 + 3 =2²

S₃ = 1+ 3+ 5 = 9 = 3²

…      …             …

Ta dự đoán Sn = n²

Với n = 1; 2; 3 ta thấy kết quả đúng

Giả sử với n = k (k  1) ta có  S_k = k ²    (2)

Ta cần phải chứng minh S_k + 1 = ( k +1 ) ² (3)

Thật vậy cộng 2 vế của (2) với 2k +1  ta có

1+3+5 +… + (2k – 1) + (2k +1) = k² + (2k +1)

Vì k² + (2k +1) = (k +1) ² nên ta có (3) tức là S_k+1  = ( k +1) ²

Theo nguyên lý quy nạp bài toán được chứng minh

Vậy Sn = 1+3 + 5 + … + ( 2n -1) = n²

Tương tự ta có thể chứng minh các kết quả sau đây bằng phương pháp quy nạp toán học.

\(\begin{array}{l}1)1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}\\2){1^2} + {2^2} + ... + {n^2} = \frac{{n\left( {n + 1} \right)\left( {2n + 1} \right)}}{6}\\3){1^3} + {2^3} + ... + {n^3} = {\left( {\frac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2}} \right)^2}\\4){1^5} + {2^5} + ... + {n^5} = \frac{1}{{12}}.{n^2}{\left( {n + 1} \right)^2}\left( {2{n^2} + 2n - 1} \right)\end{array}\)

II. Phương pháp khử liên tiếp:

Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thể biểu diễn \({a_i},i = 1,2,3...,n\), qua hiệu hai số hạng liên tiếp 1 dãy số khác, chính xác hơn, giả sử:

\(\begin{array}{l}{a_1} = {b_1} - {b_2}\\{a_2} = {b_2} - {b_3}\\...\\{a_n} = {b_n} - {b_{n + 1}}\end{array}\)

Khi đó ta có ngay:

\(\begin{array}{l}{s_n} = \left( {{b_1} - {b_2}} \right) + \left( {{b_2} - {b_3}} \right) + .... + \left( {{b_n} - {b_{n + 1}}} \right)\\ = {b_1} - {b_{n + 1}}\end{array}\)

Ví dụ 2: Tính tổng:

\(S = \frac{1}{{10.11}} + \frac{1}{{11.12}} + \frac{1}{{12.13}} + ... + \frac{1}{{99.100}}\)

Ta có: \(\frac{1}{{10.11}} = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}},\frac{1}{{11.12}} = \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}},...,\frac{1}{{99.100}} = \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}}\)

Do đó:

\(S = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{11}} + \frac{1}{{11}} - \frac{1}{{12}} + ... + \frac{1}{{99}} - \frac{1}{{100}} = \frac{1}{{10}} - \frac{1}{{100}} = \frac{9}{{100}}\)

• Dạng tổng quát

\(\begin{array}{l}{S_n} = \frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{2.3}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}}\,\,\left( {n > 1} \right)\\ = 1 - \frac{1}{{n + 1}} = \frac{n}{{n + 1}}\end{array}\)

Ví dụ 3: Tính tổng

\({S_n} = \frac{1}{{1.2.3}} + \frac{1}{{2.3.4}} + \frac{1}{{3.4.5}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Ta có \({S_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}}} \right) + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}}} \right) + ... + \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right)\)

\({S_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{2.3}} + \frac{1}{{2.3}} - \frac{1}{{3.4}} + ... + \frac{1}{{n\left( {n + 1} \right)}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right)\)

\({S_n} = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{1.2}} - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}} \right) = \frac{{n\left( {n + 3} \right)}}{{4\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)

Ví dụ 4: Tính tổng

\({S_n} = 1! + 2.2! + 3.3! + .... + n.n!\, \left( {n! = 1.2.3...n} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}1! = 2! - 1!\\2.2! = 3! - 2!\\3.3! = 4! - 3!\\...\\n.n! = \left( {n + 1} \right) - n!\end{array}\)

Vậy

\(\begin{array}{l}{S_n} = 2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + .... + \left( {n + 1} \right)! - n!\\ = \left( {n + 1} \right)! - 1! = \left( {n + 1} \right)! - 1\end{array}\)

Ví dụ 5: Tính tổng

\({S_n} = \frac{3}{{{{\left( {1.2} \right)}^2}}} + \frac{5}{{{{\left( {2.3} \right)}^2}}} + .... + \frac{{2n + 1}}{{{{\left( {n\left( {n + 1} \right)} \right)}^2}}}\)

Ta có: \(\frac{{2i + 1}}{{{{\left( {i\left( {i + 1} \right)} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{i^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {i + 1} \right)}^2}}};i = 1;2;3;...;n\)

Do đó \({S_n} = \left( {1 - \frac{1}{{{2^2}}}} \right) + \left( {\frac{1}{{{2^2}}} - \frac{1}{{{3^2}}}} \right) + .... + \left( {\frac{1}{{{n^2}}} - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}} \right)\)

                 \( = 1 - \frac{1}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}} = \frac{{n\left( {n + 2} \right)}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2}}}\)

III. Phương pháp giải phương trình với ẩn là tổng cần tính:

Ví dụ 6: Tính tổng

            \(S = 1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{100}}\) (4)

Ta viết lại S như sau:

\(\begin{array}{l}S = 1 + 2\left( {1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{99}}} \right)\\S = 1 + 2\left( {1 + 2 + {2^2} + .... + {2^{99}} + {2^{100}} - {2^{100}}} \right)\\ \Rightarrow S = 1 + 2\left( {S - {2^{100}}} \right)\end{array}\)        (5)

Từ (5) suy ra

 \(\begin{array}{l}S = 1 + 2S - {2^{101}}\\ \Rightarrow S = {2^{101}} - 1\end{array}\)

Ví dụ 7: Tính tổng

            \({S_n} = 1 + p + {p^2} + {p^3} + .... + {p^n}\,\left( {p \ne 1} \right)\)

Ta viết lại \({S_n}\) dưới dạng sau:

\(\begin{array}{l}{S_n} = 1 + p\left( {1 + p + {p^2} + .... + {p^{n - 1}}} \right)\\{S_n} = 1 + p\left( {1 + p + {p^2} + .... + {p^{n - 1}} + {p^n} - {p^n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = 1 + p\left( {{S_n} - {p_n}} \right)\\ \Rightarrow {S_n} = 1 + p.{S_n} - {p^{n + 1}}\\ \Rightarrow {S_n}\left( {p - 1} \right) = {p^{n + 1}} - 1\\ \Rightarrow {S_n} = \frac{{{p^{n + 1}} - 1}}{{p - 1}}\end{array}\)

Ví dụ 8: Tính tổng

\({S_n} = 1 + 2p + 3{p^2} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n},\,\left( {p \ne 1} \right)\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}p.{S_n} = p + 2{p^2} + 3{p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\ = 2p - p + 3{p^2} - {p^2} + 4{p^3} - {p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n} - {p^n} + \left( {n + 1} \right){p^n} - {p^n} + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\ = \left( {2p + 3{p^2} + 4{p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n}} \right) - \left( {p + p + p + ...{p^n}} \right) + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\ = \left( {1 + 2p + 3{p^2} + 4{p^3} + .... + \left( {n + 1} \right){p^n}} \right) - \left( {1 + p + {p^2} + .... + {p^n}} \right) + \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}\\p.{S_n} = {S_n} - \frac{{{P^{n + 1}} - 1}}{{P - 1}} + \left( {n + 1} \right){P^{n + 1}}(VD7)\end{array}\)

Lại có \(\left( {p - 1} \right){S_n} = \left( {n + 1} \right){p^{n + 1}} - \frac{{{p^{n + 1}} - 1}}{{P - 1}}\)

\( \Rightarrow {S_n} = \frac{{\left( {n + 1} \right){p^{n + 1}}}}{{p - 1}} - \frac{{{p^{n + 1}} - 1}}{{{{\left( {P - 1} \right)}^2}}}\)