LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ - PHẦN III

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ - PHẦN III

A. Một số kiến thức cơ bản:

1. (A + B)² = A² + 2AB + B²

2. (A – B)² = A² – 2AB + B²

3. A2 – B2 = (A + B)(A – B)

4. (A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5. (A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

6. A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

7. A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

B. Bài tập

Bài 1

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³)

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (x + 3)(x² – 3x + 9) – (54 + x³) = (x + 3)(x² – 3x + 3²) – (54 + x³)

= x³ + 3³ – (54 + x³)

= x³ + 27 – 54 – x³

= -27

b) (2x + y)(4x² – 2xy + y²) – (2x – y)(4x² + 2xy + y²)

= (2x + y)[(2x)² – 2 . x . y + y2] – (2x – y)(2x)² + 2 . x . y + y²]

= [(2x)³ + y³]- [(2x)³ – y³]

= (2x)³ + y³– (2x)³ + y³= 2y³

Bài 2

Chứng minh rằng:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng: Tính a³ + b³, biết a . b = 6 và a + b = -5

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

Thực hiện vế phải:

(a + b)³ – 3ab(a + b) = a³ + 3a²b+ 3ab² + b³ – 3a²b – 3ab²

= a³ + b³

Vậy a3 + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b)

b) a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Thực hiện vế phải:

(a – b)³ + 3ab(a – b) = a³ – 3a²b+ 3ab² – b³ + 3a²b – 3ab²

= a³ – b³

Vậy a³ – b³ = (a – b)³ + 3ab(a – b)

Áp dụng:

Với ab = 6, a + b = -5, ta được:

a³ + b³ = (a + b)³ – 3ab(a + b) = (-5)³ – 3 . 6 . (-5)

= -5³ + 3.6.5 = -125 + 90 = -35.

Bài 3

Điền các đơn thức thích hợp vào ô trống:

a) (3x + y)(☐-☐+☐) = 27x³ + y³

b) (2x -☐)(☐- 10x +☐) = 8x³ -125

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) Ta có: 27x³ + y³ = (3x)³ + y³= (3x + y)[(3x)² – 3x.y + y²] = (3x + y)(9x² – 3xy + y²)

Nên: (3x + y) (9x² – 3xy + y²) = 27x³ + y³

b) Ta có: 8x³ – 125 = (2x)³ – 5³= (2x – 5)[(2x)² + 2x . 5 + 5²]

= (2x – 5)(4x² + 10x + 25)

Nên:(2x – 5)(4x² + 10x + 25)= 8x³ – 125

Bài 4

a) (2 + xy)² b) (5 – 3x)²

c) (5 – x²)(5 + x²) d) (5x – 1)³

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²) f) (x + 3)(x² – 3x + 9)

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (2 + xy)2 = 2² + 2.2.xy + (xy)² = 4 + 4xy + x²y²

b) (5 – 3x)²= 5² – 2.5.3x + (3x)² = 25 – 30x + 9x²

c) (5 – x²)(5 + x²) = 5² – (x²)² = 25 – x⁴

d) (5x – 1)³ = (5x)³ – 3.(5x)². 1 + 3.5x.1² – 1³ = 125x³ – 75x² + 15x – 1

e) (2x – y)(4x² + 2xy + y²) = (2x – y)[(2x)² + 2x . y + y²] = (2x)³ – y³ = 8x³ – y³

f) (x + 3)(x² – 3x + 9) = (x + 3)(x² – 3x + 3²) = x3 + 3³ = x³ + 27.

Bài 5

Rút gọn các biểu thực sau:

a) (a + b)² – (a – b)²;                    b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

c) (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)²

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) (a + b)² – (a – b)² = (a² + 2ab + b²) – (a² – 2ab + b²)

= a2 + 2ab + b² – a² + 2ab – b² = 4ab

Hoặc (a + b)² – (a – b)² = [(a + b) + (a – b)][(a + b) – (a – b)]

= (a + b + a – b)(a + b – a + b) = 2a . 2b = 4ab

b) (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³

= (a³ + 3a²b + 3ab² + b³) – (a³ – 3a²b + 3ab² – b³) – 2b³

= a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – a³ + 3a²b – 3ab² + b³ – 2b³ = 6a²b

Hoặc (a + b)³ – (a – b)³ – 2b³ = [(a + b)³ – (a – b)³] – 2b³

= [(a + b) – (a – b)][(a + b)² + (a + b)(a – b) + (a – b)²] – 2b³

= (a + b – a + b)(a² + 2ab + b² + a² – b² + a² – 2ab + b²) – 2b³

= 2b.(3a² + b²) – 2b³ = 6a²b + 2b³ – 2b3 = 6a²b

c) (x + y + z)² – 2(x + y + z)(x + y) + (x + y)²

= x² + y² + z²+ 2xy + 2yz + 2xz – 2(x² + xy + yx + y² + zx + zy) + x² + 2xy + y²

= 2x² + 2y² + z² + 4xy + 2yz + 2xz – 2x² – 4xy – 2y² – 2xz – 2yz = z²

Bài 6

Tính nhanh:

a) 34² + 66² + 68 . 66;                   b) 74² + 24² – 48 . 74.

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) 34² + 66² + 68 . 66 = 34² + 2.34.66 + 66² = (34 + 66)2 = 100² = 10000.

b) 74² + 24² – 48.74 = 74² – 2.74.24 + 24² = (74 – 24)²= 50² = 2500

Bài 7

Tính giá trị của biểu thức:

a) x² + 4x + 4 tại x = 98;                    b) x³ + 3x² + 3x + 1 tại x = 99

Đáp án và hướng dẫn giải:

a) x² + 4x + 4 = x² + 2.x.2 + 2² = (x+ 2)²

Với x = 98: (98+ 2)2 =1002 = 10000

b) x³ + 3x² + 3x + 1 = x³ + 3.1.x² + 3.x .1²+ 1³ = (x + 1)³

Với x = 99: (99+ 1)³ = 100³ = 1000000

Bài 8

Dùng bút chì nối các biểu thức sao cho chúng tạo thành hai vế của một hằng đẳng thức (theo mẫu)

Đáp án và hướng dẫn giải:

Ta có: (x – y)(x² + xy + y²) = X³ – y³ và (x + y)(x² – xy + y²) = X³ + y³

(x + y) (x – y) = X² – y² và X² – 2xy + y² = (x – y)² = (y – x)² y³ + 3xy² + 3x²y + X³ = (y + x)³ = (x + y)³ và (x + y)² = X² + 2xy + y² (x – y)³ = X³ – 3x²y + 3xy² – y³

Từ đó ta có: