LUYỆN TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

LUYỆN TẬP HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ

Câu 1: Tính:

a, (x + 2y)²

b, (x – 3y)(x + 3y)

c, (5 – x)²

Lời giải:

a, (x + 2y)² = x² + 4xy + 4y²

b, (x – 3y)(x + 3y) = x² – (3y)² = x² – 9y²

c, (5 – x)2 = 5² – 10x + x² = 25 – 10x + x²

Câu 2: Tính:

a, (x – 1)²

b, (3 – y)²

c, (x - 1/2)²

Lời giải:

a, (x – 1)² = x² –2x + 1

b, (3 – y)² = 9 – 6y + y²

c, (x - 1/2)² = x² – x + 1/4

Câu 3: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương một tổng:

a, x² + 6x + 9

b, x² + x + 1/4

c,2xy² + x²y⁴ + 1

Lời giải:

a, x² + 6x + 9 = x² + 2.x.3 + 3² = (x + 3)²

b, x² + x + 1/4 = x² + 2.x.1/2 + (1/2 )² = (x + 1/2)²

c, 2xy² + x²y⁴ + 1 = (xy²)² + 2.xy².1 + 1² = (xy² + 1)²

Câu 4: Rút gọn biểu thức:

a, (x + y)² + (x – y)²

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

c, (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

Lời giải:

a, (x + y)² + (x – y)²

= x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

= 2x² + 2y²

b, 2(x – y)(x + y) + (x + y)² + (x – y)²

= [(x + y) + (x – y)]² = (2x)² = 4x²

c, (x – y + z)² + (z – y)² + 2(x – y + z)(y – z)

= (x – y + z)² + 2(x – y + z)(y – z) + (y – z)²

= [(x – y + z) + (y – z)]² = x²

Câu 5: Biết số tự nhiên a chia cho 5 dư 4. Chứng minh rằng a2 chia cho 5 dư 1.

Lời giải:

Số tự nhiên a chia cho 5 dư 4, ta có: a = 5k + 4 (k ∈N)

Ta có: a² = (5k + 4)²

= 25k² + 40k + 16

= 25k² + 40k + 15 + 1

= 5(5k² + 8k +3) +1

Ta có: 5(5k² + 8k + 3) ⋮ 5

Vậy a² = (5k + 4)² chia cho 5 dư 1.

Câu 6: Tính giá trị của biểu thức sau:

a, x² – y² tại x = 87 và y = 13

b, x³ – 3x² + 3x – 1 tại x = 101

c, x³ + 9x²+ 27x + 27 tại x = 97

Lời giải:

a, Ta có: x² – y² = (x + y)(x – y)

b, Thay x = 87, y = 13, ta được:

x² – y² = (x + y)(x – y)

= (87 + 13)(87 – 13)

= 100.74 = 7400

c, Ta có: x³ + 9x² + 27x + 27

= x³ + 3.x².3 + 3.x.3² + 3³

= (x + 3)³

Thay x = 97, ta được: (x + 3)³ = (97 + 3)³ = 100³ = 1000000

Câu 7: Chứng minh rằng:

a, (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = 2a³

b, (a + b)[(a – b)² + ab] = (a + b)[a² – 2ab + b² + ab] = a³ + b³

c, (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad – bc)²

Lời giải:

a, Ta có: (a + b)(a² – ab + b²) + (a – b)(a² + ab + b²) = a³ + b³ + a³ – b³ = 2a³

Vế trái bằng vế phải nên đẳng thức được chứng minh.

b, Ta có: (a + b)[(a – b)² + ab] = (a + b)[a² – 2ab + b² + ab]

= (a + b)(a² – 2ab + b²) = a³ + b³

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

c, Ta có: (ac + bd)² + (ad – bc)²

= a²c² + 2abcd + b²d² + a²d² – 2abcd + b²c²

= a²c² + b²d² + a²d² + b²c² = c²(a² + b²) + d²(a² + b²)

= (a² + b²)(c² + d²)

Vế phải bằng vế trái nên đẳng thức được chứng minh.

Câu 8: Chứng tỏ rằng:

a, x² – 6x + 10 > 0 với mọi x

b, 4x – x² – 5 < 0 với mọi x

Lời giải:

a, Ta có: x² – 6x + 10 = x² – 2.x.3 + 9 + 1 = (x – 3)² + 1

Vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi x nên (x – 3)² + 1 > 0 mọi x

Vậy x² – 6x + 10 > 0 với mọi x.

b, Ta có: 4x – x2 – 5 = -(x² – 4x + 4) – 1 = -(x – 2)² -1

Vì (x – 2)² ≥ 0 với mọi x nên –(x – 2)² ≤ 0 với mọi x.

Suy ra: -(x – 2)² -1 ≤ 0 với mọi x

Vậy 4x – x2 – 5 < 0 với mọi x.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức:

a, P = x² – 2x + 5

b, Q = 2x² – 6x

c, M = x² + y² – x + 6y + 10

Lời giải:

a, Ta có: P = x² – 2x + 5 = x² – 2x + 1 + 4 = (x – 1)² + 4

Vì (x – 1)² ≥ 0 nên (x – 1)² + 4 ≥ 4

Suy ra: P = 4 là giá trị bé nhất ⇒ (x – 1)2 = 0 ⇒ x = 1

Vậy P = 4 là giá trị bé nhất của đa thức khi x = 1.

b, Ta có: Q = 2x² – 6x = 2(x² – 3x) = 2(x² – 2.3/2 x + 9/4 - 9/4 )

= 2[(x - 2/3 ) - 9/4 ] = 2(x - 2/3 )² - 9/²

Vì (x - 2/3 )² ≥ 0 nên 2(x - 2/3 )² ≥ 0 ⇒ 2(x - 2/3 )2 - 9/2 ≥ - 9/2

Suy ra: Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất ⇒ (x - 2/3 )² = 0 ⇒ x = 2/3

Vậy Q = - 9/2 là giá trị nhỏ nhất của đa thức khi x = 2/3 .

c, Ta có: M = x² + y² – x + 6y + 10 = (y² + 6y + 9) + (x² – x + 1)

= (y + 3)² + (x² – 2.1/2 x + 1/4 + 3/4) = (y + 3)² + (x - 1/2)² + 3/4

Vì (y + 3)² ≥ 0 và (x - 1/2)² ≥ 0 nên (y + 3)² + (x - 1/2)² ≥ 0

⇒ (y + 3)² + (x - 12)² + 3/4 ≥ 3/4

⇒ M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất khi (y + 3)² =0

⇒ y = -3 và (x - 1/2)² = 0 ⇒ x = 1/2

Vậy M = 3/4 là giá trị nhỏ nhất tại y = -3 và x = 1/2

Câu 10: Tìm giá trị lớn nhất của đa thức:

a, A = 4x – x² + 3

b, B = x – x²

c, N = 2x – 2x² – 5

Lời giải:

a, Ta có: A = 4x – x² + 3

= 7 – x² + 4x – 4

= 7 – (x² – 4x + 4)

= 7 – (x – 2)²

Vì (x – 2)² ≥ 0 nên A = 7 – (x – 2)² ≤ 7

Vậy giá trị của A lớn nhất là 7 tại x = 2

b, Ta có: B = x – x²

= 1/4 - x² + x - 1/4

= 1/4 - (x² – 2.x. 1/2 + 1/4)

= 1/4 - (x - 1/2)²

Vì (x - 1/2)² ≥ 0 nên B = 1/4 - (x - 1/2)² ≤ 1/4

Vậy giá trị lớn nhất của B là 1/4 tại x = 1/2 .

c, Ta có: N = 2x – 2x² – 5

= - 2(x² – x + 5/2)

= - 2(x² – 2.x. 1/2 + 1/4 + 9/4)

= - 2[(x - 1/2)² + 9/4 ]

= - 2(x - 1/2)² - 9/2

Vì (x - 1/2 )² ≥ 0 nên - 2(x - 1/2)² ≤ 0

Suy ra: N = - 2(x - 1/2)² - 9/2 ≤ - 9/2

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức N là - 9/2 tại x = 1/2 .

Câu 11:

Chứng minh các đẳng thức sau:

a) (a – b)³ = -(b – a)³;                         b) (- a – b)² = (a + b)²

Đáp án và hướng dẫn giải

a) (a – b)³ = -(b – a)³

Biến đổi vế phải thành vế trái:

-(b – a)³= -(b³ – 3b²a + 3ba² – a³) = – b³ + 3b²a – 3ba² + a³

= a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)³

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(a – b)³ = [(-1)(b – a)]³ = (-1)³(b – a)³ = -1³.(b – a)³ = – (b – a)³

b) (- a – b)² = (a + b)²

Biến đổi vế trái thành vế phải:

(- a – b)² = [(-a) + (-b)]²

= (-a)² +2.(-a).(-b) + (-b)²

= a² + 2ab + b² = (a + b)²

Sử dụng tính chất hai số đối nhau:

(-a – b)² = [(-1) . (a + b)]² = (-1)² . (a + b)² = 1 . (a + b)² = (a + b)²