Luyện tập dấu hiệu chia hết cho 3, cho 9

 LUYỆN TẬP

DẤU HIỆU CHIA HẾT CHO 3, CHO 9

Câu 1: Trong các số: \(5319;{\rm{ }}3240;{\rm{ }}831\):

1. Số nào chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?
2. Số nào chia hết cho cả 2, 3, 5, 9?

Lời giải:

a, - Số 5319

• có tổng các chữ số: 5 + 3 + 1 + 9 = 18
• \(18 \vdots 3,{\rm{ }}18 \vdots 9\)

nên 5319 chia hết cho 3 và cho 9

- Số 3240

• có tổng các chữ số: 3 + 2 + 4 + 0 = 9
• \(9 \vdots 3,{\rm{ }}9 \vdots 9\)

nên 3240 chia hết cho 3 và cho 9

- Số 831

• có tổng các chữ số: 8 + 3 + 1 = 12
• \(12 \vdots 3,{\rm{ }}12\;\not  \vdots 9\)

nên số 831 chia hết 3 mà không chia hết cho 9.

b, Số chia hết cho 2 và cho 5 có chữ số tận cùng là 0

Kết hợp với kết quả câu a nên số chia hết cho 2, 3, 5, 9 là 3240.

Câu 2: Điền chữ số vào dấu * để:

1. 3*5 chia hết cho 3
2. 7*2 chia hết cho 9
3. *63* chia hết chi cả 2, 3, 5, 9.

Lời giải:

\(\begin{array}{l}a)\;\;\overline {3*5} \;{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}3\\ =  > {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}*{\rm{ }} + {\rm{ }}5\; \vdots \;3{\rm{ }} =  > {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}*\; \vdots \;3\\ =  > {\rm{ }}*\; \in \left\{ {{\rm{ }}1{\rm{ }};{\rm{ }}4{\rm{ }};{\rm{ }}7{\rm{ }}} \right\}\\b)\;\;\overline {7*2} \;{\rm{ }} \vdots {\rm{ }}9\\ =  > {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}*{\rm{ }} + {\rm{ }}2\; \vdots \;9{\rm{ }} =  > {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}*\; \vdots \;9 =  > {\rm{ }}\\*\; \in \;{\rm{ }}\left\{ {{\rm{ }}0{\rm{ }};{\rm{ }}9{\rm{ }}} \right\}\\c)\;\;\overline {a63b} \; \vdots \;5\\ =  > {\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }}0\\\overline {a630} \; \vdots \;3,\; \vdots \;9\\ =  > {\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}6{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} + {\rm{ }}0\; \vdots \;9\\ =  > {\rm{ }}9{\rm{ }} + {\rm{ }}a\; \vdots \;9{\rm{ }} =  > {\rm{ }}a{\rm{ }} = {\rm{ }}9\end{array}\)

Câu 3: Viết số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số sao cho số đó:

1. Chia hết cho 3
2. Chia hết cho 9

Lời giải:

a. Số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 3 có dạng \(\overline {100a} \)

Ta có: \(\overline {100a}  \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0{\rm{ }} + {\rm{ }}0{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right) \vdots 3 \Leftrightarrow \left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right) \vdots 3\)

Suy ra: \(a \in \left\{ {2;{\rm{ }}5;{\rm{ }}8} \right\}\)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 3 là 1002.

b. Số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 9 có dạng \(\overline {100a} \)

Ta có: \(100a \vdots 9 \Leftrightarrow \left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}0{\rm{ }} + {\rm{ }}0{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right) \vdots 9 \Leftrightarrow \left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}a} \right) \vdots 9\)

Suy ra: \(a \in \left\{ 8 \right\}\)

Vậy số tự nhiên nhỏ nhất có bốn chữ số chia hết cho 9 là 1008.

Câu 4: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 3, cho 9 không?

\(\begin{array}{l}1.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{10^{12}}-{\rm{ }}1\\2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{10^{10\;}} + {\rm{ }}2\end{array}\)

Lời giải:

a. Số \({10^{12\;}}\) có tổng các chữ số là 1 + 0 + 0 + … + 0 = 1

* Vì 1 chia cho 3 dư 1 nên 1012 chia cho 3 dư 1.

⇒ \({10^{12\;}}\) – 1 chia hết cho 3.

* Vì 1 chia 9 dư 1 nên 1012 chia cho 9 dư 1.

⇒ \({10^{12\;}}\) – 1 chia hết cho 9.

b. Số \({10^{10}}\)có tổng các chữ số là 1 + 0 + 0 + … + 0 = 1

⇒ \({10^{10}}\) + 2 có tổng các chữ số là 1 + 0 + 0 + … + 0 + 2 = 3

Vì 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Vậy 10¹⁰ + 2 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.

Câu 5: Điền chữ số vào dấu * để được số chia hết cho 3 mà không chia hết cho 9?

a. 53*               b. *471

Lời giải:

Câu 6: Tìm chữ số a và b sao cho a – b = 4 và \(87ab \vdots 9\)

Lời giải:

Ta có: \(87ab \vdots 9 \Leftrightarrow \left( {8{\rm{ }} + {\rm{ }}7{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right) \vdots 9 \Leftrightarrow \left( {15{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right){\rm{ }} \vdots {\rm{ }}9\)

Suy ra: \(\left( {a{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right) \in \left\{ {3;{\rm{ }}12} \right\}\)

Vì a – b = 4 nên a + b > 3. Suy ra a + b = 12

Thay a = 4 + b vào a + b = 12, ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{b{\rm{ }} + {\rm{ }}\left( {4{\rm{ }} + {\rm{ }}b} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}12 \Leftrightarrow 2b{\rm{ }} = {\rm{ }}12{\rm{ }}-{\rm{ }}4}\\{ \Leftrightarrow 2b{\rm{ }} = {\rm{ }}8 \Leftrightarrow b{\rm{ }} = {\rm{ }}4}\\{a{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} = {\rm{ }}4{\rm{ }} + {\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}8}\end{array}\)

Vậy ta có số: 8784.

Bài tập bổ sung

Bài 1: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng, khẳng định nào sai?

a) Nếu a + b + c = 9 thì ;

b) Nếu a + b + c = 18 thì ;

c) Nếu  thì a + b + c = 9.

Bài 2*: Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3?

Bài 3*: Cho \(n = \overline {7a5}  + \overline {8b4} \). Biết a – b = 6 và n chia hết cho 9. Tìm a và b.

Giải

Bài 1:

a) Đúng ;

b) Sai ;

c) Sai

Bài 2*:

Các số tự nhiên có ba chữ số và chia hết cho 3 là 102, 105, 108,…, 999, gồm

(999 – 102) : 3 + 1 = 300 (số).

Bài 3*:

Ta biết rằng một số và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9.

Tổng \(n = \overline {7a5}  + \overline {8b4} \) chia hết cho 9 nên \(7{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}5{\rm{ }} + {\rm{ }}8{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}4\; \vdots \;9\), tức là \(24{\rm{ }} + {\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}b\; \vdots \;9\). Suy ra \(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b\; \in \left\{ {{\rm{ }}3{\rm{ }};{\rm{ }}12{\rm{ }}} \right\}.\)

Ta có a + b > 3 (vì a – b = 6) nên a + b = 12.

Từ a + b = 12 và a – b = 6, ta có \(a{\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {12{\rm{ }} + {\rm{ }}6} \right){\rm{ }}:{\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}9\), suy ra b = 3.

Thử lại : 795 + 834 = 1629, chia hết cho 9.