Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trùng phương

I. SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

1. Tập xác định.  D=R

2.  Sự biến thiên

 2.1 Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \( y'=4ax^{3}+2bx\)

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

2.2 Tìm cực trị

2.3 Tìm các giới hạn tại vô cực (\( x\rightarrow \pm \infty\)). (Hàm trùng phương không có TCĐ và TCN.)

2.4 Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên. ( 3 dòng gồm có x; y’; y )

3. Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y = 0 <=> ax⁴ + bx² + c = 0 <=> x = ? => (?;0)

- Các điểm CĐ; CT nếu có.

(Chú ý: giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt bậc 2 nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x)

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần)- (điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị. Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị. Ta có: \( y(-x)=a(-x)^{4}+b(-x)^{2}+c=ax^{4}+bx^{2}+c =y(x)\). Nên đồ thị hàm số đã cho là hàm số chẵn. Đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng.

Các dạng đồ thị hàm số trùng phương: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

1.  y = 2x² – x⁴

2.  y = - x⁴ + 4x² - 1

3.  y = (x² –1)(x²+2)

4.  y = -x⁴ + 2x² + 3

5. y= x⁴ + 4x² – 3

6. \( y =\frac{1}{2}x^{4}-3x^{2}+\frac{3}{2}\)

Bước3: y’’= 12ax² + 2b .

 * Nếu  a , b > 0  y’’> 0  h/s luôn lồi trên R & không có điểm uốn .

 * Nếu  a , b < 0  y’’< 0  h/s luôn lồi trên R & không có điểm uốn .