GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Chúng ta thực chất đã làm quen với phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác trong các chủ đề:

-          Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm số lượng giác

-          Phương trình đẳng cấp bậc hai và bậc cao đối với sin và cos.

-          Phương trình đối xứng

Trong bài toàn này chúng ta xét thêm các trường hợp khác, bao gồm:

1. Mọi phương trình lượng giác đều có thể thực hiện việc đại số hóa thông qua hàm tan, cụ thể là đặt \(t = \tan x\) thì:

\(\begin{array}{l}\cot x = \frac{1}{t}\\\sin 2x = \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}};\,\,\cos 2x = \frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}};\,\,\tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\end{array}\)

1. Đặt \(t = \frac{1}{{\sin x}}\) hoặc \(t = \frac{1}{{\cos x}}\), điều kiện \(\left| t \right| \ge 1\)
2. Đặt \(t = a\sin x + b\cos x\), điều kiện \(t \le \sqrt {{a^2} + {b^2}} \).

Ví dụ 1: Giải phương trình \(\sin 4x = \tan x\)

Giải

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt \(t = \tan x\), suy ra phương trình có dạng:

\(\begin{array}{l}2\sin 2x.\cos 2x = \tan x \Leftrightarrow 2\frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}.\frac{{1 - {t^2}}}{{1 + {t^2}}} = t \Leftrightarrow 4t\left( {1 - {t^2}} \right) = t{\left( {1 + {t^3}} \right)^2}\\ \Leftrightarrow t\left( {{t^4} + 6{t^2} - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 0\\{t^2} =  - 3 \pm \sqrt {12} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\{\tan ^2}x = \sqrt {12}  - 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 0\\\tan x =  \pm \sqrt {\sqrt {12}  - 3} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \alpha  + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Cách 2: Sử dụng phương pháp phân tích.

Biến đổi phương trình về dạng:

\(\begin{array}{l}\sin 4x = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} \Leftrightarrow 2\sin 2x\cos 2x\cos x = \sin x\\ \Leftrightarrow 4\sin x\cos x\cos 2x\cos x = \sin x \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^2}x\cos 2x - 1} \right)\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {2\left( {1 + \cos 2x} \right)\cos 2x - 1} \right]\sin x = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = \frac{{ - 1 \pm \sqrt 3 }}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos 2x = \frac{{\sqrt 3  - 1}}{2} = \cos 2\alpha \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\2x =  \pm 2\alpha  + 2k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x =  \pm \alpha  + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có ba họ nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình \(\cot x = \tan x + 2\tan 2x\)

Giải

ĐK: \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sin 2x \ne 0\\\cos 2x \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \sin 4x \ne 0 \Leftrightarrow 4x \ne k\pi  \Leftrightarrow x \ne \frac{{k\pi }}{4}\)

Cách 1: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

Đặt \(t = \tan x \Rightarrow \cot x = \frac{1}{t}\) và \(\tan 2x = \frac{{2t}}{{1 - {t^2}}}\)

Khi đó phương trình có dạng:

\(\begin{array}{l}\frac{1}{t} = t + \frac{{4t}}{{1 - {t^2}}} \Leftrightarrow 1 - {t^2} = {t^2}\left( {1 - {t^2}} \right) + 4{t^2}\\ \Leftrightarrow {t^4} - 6{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {{t^2} - 1} \right)^2} = 4{t^2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 1 = 2t\\{t^2} - 1 =  - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{t^2} - 2t - 1 = 0\\{t^2} + 2t - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 1 \pm \sqrt 2 \\t =  - 1 \pm \sqrt 2 \end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan x = 1 - \sqrt 2  = \tan {\alpha _1}\\\tan x = 1 + \sqrt 2  = \tan {\alpha _2}\\\tan x =  - 1 - \sqrt 2  = \tan {\alpha _3}\\\tan x =  - 1 + \sqrt 2  = \tan {\alpha _4}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = {\alpha _1} + k\pi \\x = {\alpha _2} + k\pi \\x = {\alpha _3} + k\pi \\x = {\alpha _4} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có 4 họ nghiệm.

Cách 2: Sử dụng phương pháp luận hệ số để phân tích.

Biến đổi phương trình về dạng:

\(\begin{array}{l}\cot x - \tan 2x = \tan x + \tan 2x \Leftrightarrow \frac{{\cos x}}{{\sin x}} - \frac{{\sin 2x}}{{\cos 2x}} = \frac{{\sin 3x}}{{\cos x\sin 2x}}\\ \Leftrightarrow \left( {\cos 2x\cos x - \sin 2x\sin x} \right)\cos x = \sin 3x\sin x\\ \Leftrightarrow \cos 3x\cos x - \sin 3x\sin x = 0 \Leftrightarrow \cos 4x = 0\\ \Leftrightarrow 4x = \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + \frac{{k\pi }}{4}\,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

Ví dụ 3: Cho phương trình \(4{\tan ^2}x + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Giải phương trình với \(m =  - 1\).

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

Giải

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(4\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} - 1} \right) + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 5 = 0 \Leftrightarrow \frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{4m}}{{\cos x}} + 1 = 0\)

Đặt \(t = \frac{2}{{\cos x}}\,\,\left( {\left| t \right| \ge 2} \right)\), khi đó phương trình có dạng:

\(f\left( t \right) = {t^2} + 2mt + 1 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

a) Với \(m =  - 1\), ta được: \({t^2} - 2t + 1 = 0 \Leftrightarrow t = 1\,\,\left( {ktm} \right)\)

Vậy với \(m =  - 1\) phương trình vô nghiệm.

b) Phương trình (1) có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \) Phương trình (2) có nghiệm \(t \ge 2\)

TH1: (2) có nghiệm \({t_1} \le 2 \le {t_2}\)

TH2: (2) có nghiệm \(2 \le {t_1} \le {t_2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}af\left( 2 \right) \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \ge 0\\af\left( 2 \right) \ge 0\\\frac{S}{2} \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4m + 5 \le 0\\\left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 \ge 0\\4m + 5 \ge 0\\ - m \ge 2\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - \frac{5}{4}\)

Vậy với \(m \le  - \frac{5}{3}\) thì phương trình đã cho có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Ví dụ 4: Cho phương trình \(\left( {m + 1} \right){\tan ^4}x - 3m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\tan ^2}x + \frac{{4m}}{{{{\cos }^4}x}} = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\)

a) Giải phương trình với \(m =  - \frac{9}{{37}}\)

b) Tìm m để phương trình có nghiệm khác \(k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Giải

ĐK: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Viết lại phương trình dưới dạng:

\(\left( {m + 1} \right){\tan ^4}x - 3m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right){\tan ^2}x + 4m{\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} = 0\)

Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)^2} \ne 0\) , ta được:

\(\left( {m + 1} \right){\left( {\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}} \right)^2} - 3m\frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} + 4m = 0\)

Đặt \(t = \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}}\,\,\left( {0 \le t < 1} \right)\), khi đó phương trình có dạng:

\(\left( {m + 1} \right){t^2} - 3mt + 4m = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

a) Với \(m =  - \frac{9}{{37}}\) ta được:

\(\begin{array}{l}28{t^2} + 27t - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{3}{4}\\t = \frac{{ - 12}}{7}\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{{{\tan }^2}x}}{{1 + {{\tan }^2}x}} = \frac{3}{4}\\ \Leftrightarrow {\tan ^2}x = 3 \Leftrightarrow \tan x =  \pm \sqrt 3  \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{3} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\end{array}\)

Vậy phương trình có hai họ nghiệm.

b) Xét hai trường hợp

TH1: Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m =  - 1\) ta được:

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 3t - 4 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{4}{3}\,\,\left( {ktm} \right) \Rightarrow \) Phương trình vô nghiệm.

TH2: Nếu  \(m + 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 1\)

Phương trình (1) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 2 \right)\) có nghiệm \(t \in \left( {0;1} \right)\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( 2 \right)\,{\mathop{\rm co}\nolimits} \,1\,nghiem\, \in \left( {0;1} \right)\\\left( 2 \right)\,{\mathop{\rm co}\nolimits} \,2\,nghiem\, \in \left( {0;1} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( 0 \right)f\left( 1 \right) < 0\\\left\{ \begin{array}{l}\Delta  \ge 0\\af\left( 0 \right) > 0\\af\left( 1 \right) > 1\\0 < \frac{S}{2} < 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m > \frac{{ - 1}}{2}\)

Vậy với \(m >  - \frac{1}{2}\) thỏa mãn điều kiện bài toán.

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các phương trình:

a) \(1 + 3\sin 2x = 2\tan x\)                             c) \(6\tan x = \tan 2x\)

b) \(1 + 3\tan x = 2\sin 2x\)                             d) \(\sin 2x + 2\tan x = 3\)

Bài 2: Giải các phương trình:

a) \(\cos x + \tan \frac{x}{2} = 1\)                                          b) \(2 + \cos x = 2\tan \frac{x}{2}\)

Bài 3: Giải các phương trình:

a) \(\left( {1 - \tan x} \right)\left( {1 + \sin 2x} \right) = 1 + \tan x\)

b) \(4{\sin ^2}x + 3{\tan ^2}x = 1\)

c) \(3\sin x + \cos x - 4\cot \frac{x}{2} + 1 = 0\)

d) \(\left( {\cos x - \sin x} \right)\cos x\sin x = \cos x\cos 2x\)

Bài 4: Cho phương trình \({\cot ^2}x + \frac{m}{{\sin x}} + 2m - 1 = 0\)

a) Giải phương trình với \(m = 1\).

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( { - \frac{\pi }{6};\frac{\pi }{6}} \right)\).

Bài 5: Cho phương trình \(4{\tan ^2}x - 2m\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\tan x + \frac{4}{{{{\cos }^4}x}} = 0\)

a) Giải phương trình với \(m =  - 5\)

b) Tìm m để phương trình có nghiệm.

Bài 6: Cho phương trình: \(\left( {1 - a} \right){\tan ^2}x - \frac{2}{{\cos x}} + 1 + 3a = 0\)

a) Giải phương trình khi \(a = \frac{1}{2}\)

b) Xác định a để phương trình có nhiều hơn 1 nghiệm trong khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bài 7: Cho phương trình \(\frac{4}{{{{\cos }^2}x}} + {\cos ^2}x + m\left( {\frac{2}{{\cos x}} + \cos x} \right) - 3 = 0\)

a) Giải phương trình với \(m =  - \frac{2}{3}\)

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\).

Bài 8: Cho phương trình \(3\cos x + 4\sin x + \frac{6}{{3\cos x + 4\sin x + 1}} = m\)

a) Giải phương trình với \(m = 6.\)

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc \(\left( {0;\pi } \right)\)