PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG I

PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN DẠNG I

PHƯƠNG PHÁP CHUNG

Với các hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sin x \pm \sin y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\cos x \pm \cos y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\tan x \pm \tan y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\cot x \pm \cot y = m\\x \pm y = \alpha \end{array} \right.\end{array}\)

Ta chuyển tổng \(f\left( x \right) \pm f\left( y \right) = m\) thành tích bằng một trong các công thức

\(\begin{array}{l}\sin x + \sin y = 2\sin \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\\\sin x - \sin y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\\\cos x + \cos y = 2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2}\\\cos x - \cos y =  - 2\sin \frac{{x + y}}{2}\sin \frac{{x - y}}{2}\\\tan x \pm \tan y = \frac{{\sin \left( {x \pm y} \right)}}{{\cos x\cos y}}\end{array}\)

Chú ý: Phương pháp chung là nếu biết tổng \(x + y\) thì tìm hiệu \(x - y\) thay ngược lại, bằng các công thức biến đổi, tức là:

- Ta đi biến đổi phương trình \(f\left( x \right) \pm f\left( y \right) = m \Leftrightarrow {g_1}\left( {x + y} \right).{g_2}\left( {x - y} \right) = {m_1}\,\,\,\left( * \right)\)

- Từ đó thay phương trình \(x \pm y = \alpha \) vào (*) để tìm biểu thức còn lại.

Ví dụ 1: Cho hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x + \cos y = m\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\)

a) Giải hệ phương trình với \(m =  - \frac{1}{2}\)

b) Tìm m để hệ có nghiệm.

Giải:

Biến đổi (1) về dạng:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{{x - y}}{2} = m\\ \Leftrightarrow 2\cos \frac{{x + y}}{2}\cos \frac{\pi }{3} = m\\ \Leftrightarrow \cos \frac{{x + y}}{2} = m\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

a) Với \(m =  - \frac{1}{2}\), ta được: \(\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos \frac{{x + y}}{2} =  - \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} =  \pm \frac{{2\pi }}{3} + 2k\pi  \Leftrightarrow x + y =  \pm \frac{{4\pi }}{3} + 4k\pi \)

Do đó hệ phương trình tương đương với

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{{4\pi }}{3} + 4k\pi \\x - y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y =  - \frac{{4\pi }}{3} + 4k\pi \\x - y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \pi  + 2k\pi \\y = \frac{\pi }{3} + 2k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{\pi }{3} + 2k\pi \\y =  - \pi  + 2k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

b) Hệ có nghiệm \( \Leftrightarrow \left( 3 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left| m \right| \le 1\).

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + \cos y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x - y =  - \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải

Biến đổi (1) về dạng

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sin x + \sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {\frac{{x - y}}{2} + \frac{\pi }{4}} \right).\cos \left( {\frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{8}.\cos \left( {\frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \cos \frac{\pi }{4} = 1 - 2{\sin ^2}\frac{\pi }{8} \Leftrightarrow \sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{\cos ^2}\frac{\pi }{8} - 1 \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2}\end{array}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 \sqrt {2 - \sqrt 2 } }} = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} = \cos \frac{\pi }{8}\\ \Leftrightarrow \frac{{x + y}}{2} - \frac{\pi }{4} =  \pm \frac{\pi }{8} + 2k\pi \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y = \frac{{3\pi }}{4} + 4k\pi \\x + y = \frac{\pi }{4} + 4k\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Do đó hệ phương trình tương đương với

\(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{{3\pi }}{4} + 4k\pi \\x - y =  - \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4} + 4k\pi \\x - y =  - \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \\y = \frac{\pi }{2} + 2k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 2k\pi \\y = \frac{\pi }{4} + 2k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Ví dụ 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\tan x - \tan y = m\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\x + y = \frac{{3\pi }}{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

a) Giải hệ phương trình với \(m = 2\)

b) Tìm m để hệ có nghiệm.

Giải

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\cos x \ne 0\\\cos y \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \\y \ne \frac{\pi }{2} + l\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k;l \in Z} \right)\)

Biến đổi (1) về dạng

\(\begin{array}{l}\frac{{\sin \left( {x - y} \right)}}{{\cos x\cos y}} = m \Leftrightarrow \sin \left( {x - y} \right) = \frac{m}{2}\left[ {\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)} \right]\\ \Leftrightarrow 2\sin \left( {x - y} \right) - m\cos \left( {x - y} \right) = \frac{{ - m\sqrt 2 }}{2}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

a) Với \(m = 2\) ta được:

\(\begin{array}{l}\left( 3 \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - y} \right) - \cos \left( {x - y} \right) = \frac{{ - \sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x - y - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - y - \frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y - \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{6} + 2k\pi \\x - y - \frac{\pi }{4} = \frac{{7\pi }}{6} + 2k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - y = \frac{\pi }{{12}} + 2k\pi \\x - y = \frac{{17\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right.\end{array}\)

Do đó hệ phương trình tương đương với

  \(\left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x - y = \frac{\pi }{{12}} + 2k\pi \\x + y = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x - y = \frac{{17\pi }}{{12}} + 2k\pi \\x + y = \frac{{3\pi }}{4}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{5\pi }}{{12}} + k\pi \\y = \frac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{13\pi }}{{12}} + k\pi \\y =  - \frac{\pi }{3} - k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

b) Hệ có nghiệm khi (3) có nghiệm \( \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge {c^2} \Leftrightarrow 4 + {m^2} \ge \frac{{{m^2}}}{2}\)

\( \Leftrightarrow 8 + {m^2} \ge 0\) luôn đúng

Vậy hệ có nghiệm với mọi m.

Ví dụ 4: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\2{\sin ^2}x + 2{\cos ^2}y = 2m + 1\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

a) Giải hệ với \(m = 0\)

b) Tìm m hệ có nghiệm.

Giải

Biến đổi (2) về dạng

\(\begin{array}{l}1 - \cos 2x + 1 + \cos 2y = 2m + 1\\ \Leftrightarrow \cos 2x - \cos 2y = 1 - 2m\\ \Rightarrow  - 2\sin \left( {x - y} \right)\sin \left( {x + y} \right) = 1 - 2m\\ \Leftrightarrow  - 2\sin \left( {x - y} \right)\sin \frac{\pi }{4} = 1 - 2m\\ \Leftrightarrow \sin \left( {x - y} \right) = \frac{{2m - 1}}{{\sqrt 2 }}\,\,\,\left( 3 \right)\end{array}\)

a) Với \(m = 0\), hệ có dạng

\(\left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4}\\\sin \left( {x - y} \right) = \frac{{ - 1}}{{\sqrt 2 }}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + y = \frac{\pi }{4}\\\left[ \begin{array}{l}x - y =  - \frac{\pi }{4} + 2k\pi \\x - y = \frac{{5\pi }}{4} + 2k\pi \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = k\pi \\y = \frac{\pi }{4} - k\pi \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \\y =  - \frac{\pi }{2} - k\pi \end{array} \right.\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in Z} \right)\)

Vậy với \(m = 0\) hệ có hai cặp họ nghiệm.

b) Hệ có nghiệm khi:

\(\left( 3 \right)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \left| {\frac{{2m - 1}}{{\sqrt 2 }}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\)

Vậy hệ có nghiệm khi \(\frac{{1 - \sqrt 2 }}{2} \le m \le \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\).

BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ

Bài 1: Giải các hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}2\left( {\cos x + \cos y} \right) =  - 1\\x + y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}2\left( {\sin x + \sin y} \right) = 3\\x + y = \frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\\c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}\tan x + \tan y = 1\\x + y = \frac{\pi }{4}\end{array} \right.\\d)\,\,\left\{ \begin{array}{l}\cot x + \cot y = 2\\x + y = \frac{\pi }{2}\end{array} \right.\end{array}\)

Bài 2: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}\sin x + \sin y = m\\x + y = \frac{\pi }{3}\end{array} \right.\)

a) Giải hệ với \(m = 1\)

b) Tìm m để hệ có nghiệm.

Bài 3: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\\tan x + \tan y = b\end{array} \right.\)

a) Giải hệ với \(a = \frac{{5\pi }}{{12}}\) và \(b = 2\)

b) Tìm điều kiện giữa a và b để hệ có nghiệm.

Bài 4: Cho hệ phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3\left( {x - y} \right) = \pi \\{\cos ^2}x + {\cos ^2}y = 2m + 1\end{array} \right.\)

a) Giải hệ phương trình khi \(m = \frac{{\sqrt 2 }}{8}\)

b) Xác định m để hệ trên có nghiệm.

Bài 5: Giải và biện luận các hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}a)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x - {\sin ^2}y = m\\x + y = \alpha \end{array} \right.\\b)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\cos ^2}x + {\cos ^2}y = m\\x + y = 2\pi \end{array} \right.\\c)\,\,\left\{ \begin{array}{l}{\sin ^2}x + {\sin ^2}y = 1 - \cos \alpha \\x + y = \alpha \end{array} \right.\\d)\,\left\{ \begin{array}{l}x + y = a\\2\left( {{{\sin }^2}x + {{\sin }^2}y} \right) = 2 - \sin 2a\end{array} \right.\end{array}\)