LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

LÝ THUYẾT VÀ BÀI TẬP

CHIA ĐA THỨC MỘT BIẾN ĐÃ SẮP XẾP

A. Tóm tắt kiến thức

1. Phương pháp:

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, B ≠0 tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B . Q + R, với R = 0 hoặc bậc bé hơn bậc của 1

Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

Nếu R ≠0, ta được phép chia có dư.

B. Bài tập:

Bài 1

Sắp xếp các đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

a) (x³ – 7x + 3 – x²) : (x – 3);

b) (2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2).

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (x³ – 7x + 3 – x2) : (x – 3)

Sắp xếp lại: (x³ – x² – 7x + 3 ) : (x – 3)

b) (2x⁴ – 3x² – 3x² – 2 + 6x) : (x² – 2)

Sắp xếp lại: (2x⁴ – 3x² – 3x² + 6x – 2) : (x² – 2)

Bài 2

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để thực hiện phép chia:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y);

b) (125x³ + 1) : (5x + 1);

c) (x² – 2xy + y²) : (y – x).

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (x² + 2xy + y²) : (x + y) = (x + y)² : (x + y) = x + y.

b) (125x³ + 1) : (5x + 1) = [(5x)³ + 1] : (5x + 1)

= (5x)² – 5x + 1 = 25x² – 5x + 1.

c) (x² – 2xy + y²) : (y – x) = (x – y)² : [-(x – y)] = – (x – y) = y – x

Hoặc (x² – 2xy + y²) : (y – x) = (y² – 2xy + x²) : (y – x)

= (y – x)² : (y – x) = y – x.

Bài 3

Cho hai đa thức A = 3x4 + x3 + 6x – 5 và B = x2+ 1. Tìm dư R trong phép chia A cho B rồi viết A dưới dạng A = B.Q + R.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

Vậy 3x⁴ + x³ + 6x – 5 = (x²+ 1)(3x² + x – 3) + 5x – 2

Bài 4

Làm tính chia:

a) (25x⁵ – 5x⁴ + 10x²) : 5x²;

b) (15x³y² – 6x²y – 3x²y²) : 6x²y.

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (25x⁵ – 5x⁴ + 10x²) : 5x² = (25x⁵ : 5x² ) – (5x⁴ : 5x² ) + (10x² : 5x²) = 5x3 – x2 + 2

b) (15x³y² – 6x²y – 3x²y²) : 6x²y

= (15x³y² : 6x²y) + (– 6x²y : 6x²y) + (– 3x²y² : 6x²y)

= 15/6xy – 1 – 3/6y = 5/2xy – 1/2y – 1.

Bài 5

Không thực hiện phép chia, hãy xét xem đa thức A có chia hết cho đa thức B hay không.

a) A = 15x⁴ – 8x³ + x²

B = 1/2x²

b) A = x² – 2x + 1

B = 1 – x

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) Ta có 15x⁴ ; 8x³ ; x² chia hết cho 1/2x² nên đa thức A chia hết cho B.

b) A chia hết cho B, vì x² – 2x + 1 = (1 – x)², chia hết cho 1 – x

Bài 6

Làm tính chia:

(2x⁴ + x³ – 3x² + 5x – 2) : (x² – x + 1).

Đáp án và hướng dẫn giải bài

Khi đó :(2x⁴ + x³ – 3x² + 5x – 2) = (x² – x + 1)(2x³ + 3x – 2).

Bài 7

Tính nhanh:

a) (4x² – 9y2) : (2x – 3y);               b) (27x³ – 1) : (3x – 1);

c) (8x³ + 1) : (4x² – 2x + 1);             d) (x² – 3x + xy -3y) : (x + y)

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

a) (4x² – 9y²) : (2x – 3y) = [(2x)² – (3y)²] : (2x – 3y) = (2x –3y)(2x +3y) : (2x –3y) = 2x + 3y;

b) (27x³ – 1) : (3x – 1) = [(3x)³ – 1] : (3x – 1) = (3x – 1) [(3x)2 + 3x + 1] : (3x – 1) = 9x²+ 3x + 1

c) (8x³ + 1) : (4x² – 2x + 1) = [(2x)³ + 1] : (4x² – 2x + 1)

= (2x + 1)[(2x)² – 2x + 1] : (4x² – 2x + 1)

= (2x + 1)(4x² – 2x + 1) : (4x2 – 2x + 1) = 2x + 1

d) (x² – 3x + xy -3y) : (x + y)

= [(x² + xy) – (3x + 3y)] : (x + y)

= [x(x + y) – 3(x + y)] : (x + y)

= (x + y)(x – 3) : (x + y)

= x – 3.

Bài 8

Tìm số a để đa thức 2x³ – 3x² + x + a chia hết cho đa thức x + 2

Đáp án và hướng dẫn giải bài:

Khi đó 2x³ – 3x² + x + a = (x + 2) (2x² – 7x + 15) + a – 30 để đa thức 2x³ – 3x2 + x + a chia hết cho đa thức (x + 2) thì phần dư a – 30 = 0 hay a = 30.