Luyện tập về phép chia phân thức - Có đáp án

  LUYỆN TẬP PHÉP NHÂN PHÂN THỨC

(CÓ ĐÁP ÁN)

I. LÝ THUYẾT

1. Phân thức nghịch đảo

Hai phân thức được gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1.

Nếu\(\frac{A}{B}\) là một phân thức khác 0 thì \(\frac{A}{B}.\frac{B}{A} = 1\)

Do đó: \(\frac{B}{A}\) là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{A}{B}\)

\(\frac{A}{B}\)là phân thức nghịch đảo của phân thức \(\frac{B}{A}\)

2. Phép chia các phân thức đại số

Qui tắc: Muốn chia phân thức \(\frac{A}{B}\) cho phân thức\(\frac{C}{D}\) khác 0, ta nhân \(\frac{A}{B}\) với phân thức nghịch đảo của \(\frac{C}{D}\)

\(\frac{A}{B}:\frac{C}{D} = \frac{A}{B}.\frac{D}{C}\) với \(\frac{C}{D} \ne 0\)

 II. BÀI TẬP

Bài 1. Làm tính chia phân thức:

\(\begin{array}{l}a.( - \frac{{20x}}{{3{y^2}}}):( - \frac{{4{x^3}}}{{5y}})\\b.\frac{{4x + 12}}{{{{(x + 4)}^2}}}:\frac{{3(x + 3)}}{{x + 4}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.( - \frac{{20x}}{{3{y^2}}}):( - \frac{{4{x^3}}}{{5y}}) = \frac{{20x}}{{3{y^2}}}:\frac{{4{x^3}}}{{5y}}\\ = \frac{{20x}}{{3{y^2}}}.\frac{{5y}}{{4{x^3}}} = \frac{{20x.5y}}{{3{y^2}.4{x^3}}} = \frac{{25}}{{3{x^2}y}}\\b.\frac{{4x + 12}}{{{{(x + 4)}^2}}}:\frac{{3(x + 3)}}{{x + 4}}\\ = \frac{{4(x + 3)}}{{{{(x + 4)}^2}}}.\frac{{x + 4}}{{3(x + 3)}} = \frac{4}{{3(x + 4)}}\end{array}\)

Bài 2. Thực hiện các phép tính sau:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{5x - 10}}{{{x^2} + 7}}:(2x - 4)\\b.({x^2} - 25):\frac{{2x + 10}}{{3x - 7}}\\c.\frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{5x - 5}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{5x - 10}}{{{x^2} + 7}}:(2x - 4) = \frac{{5x - 10}}{{{x^2} + 7}}:\frac{{2x - 4}}{1} = \frac{{5x - 10}}{{{x^2} + 7}}.\frac{1}{{2x - 4}}\\ = \frac{{5(x - 2).1}}{{({x^2} + 7).2(x - 2)}} = \frac{5}{{2({x^2} + 7)}}\\b.({x^2} - 25):\frac{{2x + 10}}{{3x - 7}} = \frac{{{x^2} - 25}}{1}:\frac{{2x + 10}}{{3x - 7}} = \frac{{{x^2} - 25}}{1}.\frac{{3x - 7}}{{2x + 10}}\\ = \frac{{(x - 5)(x + 5)(3x - 7)}}{{2(x + 5)}} = \frac{{(x - 5)(3x - 7)}}{2}\\c.\frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{5x - 5}} = \frac{{{x^2} + x}}{{5{x^2} - 10x + 5}}.\frac{{5x - 5}}{{3x + 3}}\\ = \frac{{x(x + 1).5(x - 1)}}{{5{{(x - 1)}^2}.3(x + 1)}} = \frac{x}{{3(x - 1)}}\end{array}\)

Bài 3. Tìm biểu thức Q, biết rằng: \(\frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}}.Q = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x}}\)

Giải:

Vì Q là thương của phép chia \(\frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x}}\) cho \(\frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}}\) nên

 \(\begin{array}{l}Q = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x}}:\frac{{{x^2} + 2x}}{{x - 1}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2} - x}}.\frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x}}\\ = \frac{{(x - 2)(x + 2)}}{{x(x - 1)}}.\frac{{x - 1}}{{x(x + 2)}} = \frac{{x - 2}}{{{x^2}}}\end{array}\)

Bài 4: Đố. Đố em điền được vào chỗ trống của dãy phép chia dưới đây những phân thức có tử thức bằng mẫu thức công với 1:
\(\frac{x}{{x + 1}}:\frac{{x + 2}}{{x + 1}}:\frac{{x + 3}}{{x + 2}}:....... = \frac{x}{{x + 6}}\)

Em hãy ra cho bạn một câu đố tương tự, với vế phải của đẳng thức là x/(x +n), trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 1 tuỳ ý em thích.

Giải:

Theo cách thực hiện một dãy phép chia ta có thể viết đẳng thức đã cho thành:

\(\frac{x}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{{x + 3}}......... = \frac{x}{{x + 6}}\)

Theo bài 3 ta có:

\(\frac{x}{{x + 1}}.\frac{{x + 1}}{{x + 2}}.\frac{{x + 2}}{{x + 3}}.\frac{{x + 3}}{{x + 4}}.\frac{{x + 4}}{{x + 5}}.\frac{{x + 5}}{{x + 6}} = \frac{x}{{x + 6}}\)

Vậy có thể điền:

\(\frac{x}{{x + 1}}:\frac{{x + 2}}{{x + 1}}:\frac{{x + 3}}{{x + 2}}:\frac{{x + 4}}{{x + 3}}:\frac{{x + 5}}{{x + 4}}:\frac{{x + 6}}{{x + 5}} = \frac{x}{{x + 6}}\)

Câu đố tương tự:

\(\frac{x}{{x + 1}}:\frac{{x + 2}}{{x + 1}}:\frac{{x + 3}}{{x + 2}}:......... = \frac{x}{{x + 10}}\)

Bài 5. Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{7x + 2}}{{3x{y^3}}}:\frac{{14x + 4}}{{{x^2}y}}\\b.\frac{{8xy}}{{3x - 1}}:\frac{{12x{y^3}}}{{5 - 15x}}\\c.\frac{{27 - {x^3}}}{{5x + 5}}:\frac{{2x - 6}}{{3x + 3}}\\d.\left( {4{x^2} - 16} \right):\frac{{3x + 6}}{{7x - 2}}\\e.\frac{{3{x^3} + 3}}{{x - 1}}:\left( {{x^2} - x + 1} \right)\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{7x + 2}}{{3x{y^3}}}:\frac{{14x + 4}}{{{x^2}y}} = \frac{{7x + 2}}{{3x{y^3}}}.\frac{{{x^2}y}}{{14x + 4}} = \frac{{\left( {7x + 2} \right){x^2}y}}{{3x{y^3}.2\left( {7x + 2} \right)}} = \frac{x}{{6{y^2}}}\\b.\frac{{8xy}}{{3x - 1}}:\frac{{12x{y^3}}}{{5 - 15x}} = \frac{{8xy}}{{3x - 1}}.\frac{{5 - 15x}}{{12x{y^3}}} = \frac{{8xy\left( {5 - 15x} \right)}}{{\left( {3x - 1} \right).12x{y^3}}} = \frac{{ - 10\left( {3x - 1} \right)}}{{3\left( {3x - 1} \right){y^2}}} = \frac{{10}}{{3{y^2}}}\\c.\frac{{27 - {x^3}}}{{5x + 5}}:\frac{{2x - 6}}{{3x + 3}} = \frac{{27 - {x^3}}}{{5x + 5}}:\frac{{3x + 3}}{{2x - 6}} = \frac{{\left( {{3^3} - {x^3}} \right).3\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x + 1} \right).2\left( {x - 3} \right)}}\\= \frac{{ - 3\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{10\left( {x - 3} \right)}} =  - \frac{{3\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)}}{{10}}\\d.\left( {4{x^2} - 16} \right):\frac{{3x + 6}}{{7x - 2}} = \left( {4{x^2} - 16} \right).\frac{{7x - 2}}{{3x + 6}} = \frac{{4\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {7x - 2} \right)}}{{3\left( {x + 2} \right)}}\\ = \frac{{4\left( {x - 2} \right)\left( {7x - 2} \right)}}{3}\\e.\frac{{3{x^3} + 3}}{{x - 1}}:\left( {{x^2} - x + 1} \right) = \frac{{3{x^3} + 3}}{{x - 1}}.\frac{1}{{{x^2} - x + 1}} = \frac{{3\left( {{x^3} + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}} = \frac{{3\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - x + 1} \right)}}\\ = \frac{{3\left( {x + 1} \right)}}{{x - 1}}\end{array}\)

Bài 6. Thực hiện phép tính (chú ý đến quy tắc đổi dấu)
\(\begin{array}{l}a.\frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3{x^2} - x}}:\frac{{{x^2} + 3x}}{{1 - 3x}}\\b.\frac{{4x + 6y}}{{x - 1}}:\frac{{4{x^2} + 12xy + 9{y^2}}}{{1 - {x^3}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3{x^2} - x}}:\frac{{{x^2} + 3x}}{{1 - 3x}} = \frac{{4\left( {x + 3} \right)}}{{3{x^2} - x}}.\frac{{1 - 3x}}{{{x^2} + 3x}} = \frac{{4\left( {x + 3} \right)\left( {1 - 3x} \right)}}{{x\left( {3x - 1} \right).x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{ - 4\left( {3x - 1} \right)}}{{{x^2}\left( {3x - 1} \right)}} =  - \frac{4}{{{x^2}}}\\b.\frac{{4x + 6y}}{{x - 1}}:\frac{{4{x^2} + 12xy + 9{y^2}}}{{1 - {x^3}}}\\ = \frac{{4x + 6y}}{{x - 1}}.\frac{{1 - {x^3}}}{{4{x^2} + 12xy + 9{y^2}}} = \frac{{2\left( {2x + 3y} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right){{\left( {2x + 3y} \right)}^2}}}\\ =  - \frac{{2\left( {x - 1} \right)\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 3y} \right)}} =  - \frac{{2\left( {1 + x + {x^2}} \right)}}{{2x + 3y}}\end{array}\)

Bài 7: Rút gọn biểu thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^4} - x{y^3}}}{{2xy + {y^2}}}:\frac{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2}}}{{2x + y}}\\b.\frac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{2{x^2} - 2xy + 2{y^2}}}:\frac{{8x - 8y}}{{10{x^3} + 10{y^3}}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^4} - x{y^3}}}{{2xy + {y^2}}}:\frac{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2}}}{{2x + y}} = \frac{{{x^4} - x{y^3}}}{{2xy + {y^2}}}.\frac{{2x + y}}{{{x^3} + {x^2}y + x{y^2}}} = \frac{{x\left( {{x^3} - {y^3}} \right)\left( {2x + y} \right)}}{{y\left( {2x + y} \right).x\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}\\ = \frac{{\left( {x - y} \right)\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}}{{y\left( {{x^2} + xy + {y^2}} \right)}} = \frac{{x - y}}{y}\\b.\frac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{2{x^2} - 2xy + 2{y^2}}}:\frac{{8x - 8y}}{{10{x^3} + 10{y^3}}} = \frac{{5{x^2} - 10xy + 5{y^2}}}{{2{x^2} - 2xy + 2{y^2}}}.\frac{{10{x^3} + 10{y^3}}}{{8x - 8y}} = \frac{{5\left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right).10\left( {{x^3} + {y^3}} \right)}}{{2\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right).8\left( {x - y} \right)}}\\ = \frac{{25{{\left( {x - y} \right)}^2}\left( {x + y} \right)\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)}}{{8\left( {{x^2} - xy + {y^2}} \right)\left( {x - y} \right)}} = \frac{{25\left( {x - y} \right)\left( {x + y} \right)}}{8}\end{array}\)

 Bài 8.   Thực hiện phép tính:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} + 7x + 12}}:\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} + 3x}}\\b.\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} + 3x - 10}}:\frac{{{x^2} + 7x + 12}}{{{x^2} - 9x + 14}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{{x^2} - 5x + 6}}{{{x^2} + 7x + 12}}:\frac{{{x^2} - 4x + 4}}{{{x^2} + 3x}}\\ = \frac{{\left( {{x^2} - 5x + 6} \right).x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {{x^2} + 7x + 12} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {{x^2} - 2x - 3x + 6} \right).x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {{x^2} + 3x + 4x + 12} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{\left( {x\left( {x - 2} \right) - 3\left( {x - 2} \right)} \right).x\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x\left( {x + 3} \right) + 4\left( {x + 3} \right)} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\\ = \frac{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x + 3} \right)\left( {x + 4} \right){{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{x\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x + 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}\\b.\frac{{{x^2} + 2x - 3}}{{{x^2} + 3x - 10}}:\frac{{{x^2} + 7x + 12}}{{{x^2} - 9x + 14}}\\ = \frac{{({x^2} + 2x - 3)({x^2} - 9x + 14)}}{{({x^2} + 3x - 10)({x^2} + 7x + 12)}}\\ = \frac{{(x + 3)(x - 1)(x - 7)(x - 2)}}{{(x + 5)(x - 2)(x + 3)(x + 4)}} = \frac{{(x - 1)(x - 7)}}{{(x + 5)(x + 4)}}\end{array}\)

 Bài 9. Hà Nội cách TP. Hồ Chí Minh x km. Quãng đường từ Hà Nội đến Huế ngắn hơn quãng đường từ Huế đến TP. Hồ Chí Minh là 411km. Một con tàu xuất phát từ TP. Hồ Chí Minh đi Hà Nội. Sau đó 8 giờ con tàu thứ hai xuất phát từ Hà Nội đi TP. Hồ Chí Minh, chúng gặp nhau tại Huế rồi tiếp tục đi. Con tàu thứ hai phải đi 20 giờ nữa mới đến TP. Hồ Chí Minh. Hãy biểu diễn:

a, Chiều dài quãng đường Hà Nội - Huế, Huế - TP. Hồ Chí Minh.

b, Vận tốc của hai con tàu.

c, Thời gian của con tàu thứ hai từ Hà Nội vào Huế.

d, Thời gian của con tàu thứ nhất từ TP. Hồ Chí Minh ra Huế.

e, Vận tốc con tàu thứ nhất.

f, Thời gian đi của cọn tàu thứ nhất từ Huế ra Hà Nội.

Giải: