Luyện tập quy đồng mẫu số nhiều phân thức (tiếp theo)_Có đáp án

  LUYỆN TẬP QUY ĐỒNG MẪU THỨC NHIỀU PHÂN THỨC (TIẾP)

(CÓ ĐÁP ÁN)

Bài 1. Cho hai phân thức : \(\frac{1}{{{x^2} + 3x - 10}},\frac{x}{{{x^2} + 7x + 10}}\)

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là x³ + 5x² – 4x – 20.

 Giải:

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  x³ + 5x² – 4x – 20 làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.
Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{x^3} + 5{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} - 20}\\{ = \left( {{x^3} + 5{{\rm{x}}^2}} \right) - \left( {4{\rm{x}} + 20} \right)}\\{ = {x^2}\left( {x + 5} \right) - 4\left( {x + 5} \right)}\\{ = \left( {x + 5} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}\\{ = \left( {x + 5} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}\\{ = \left( {{x^2} + 3{\rm{x}} - 10} \right)\left( {x + 2} \right)}\\{ = \left( {{x^2} + 7{\rm{x}} + 10} \right)\left( {x - 2} \right)}\end{array}\)

Suy ra: x³ + 5x² – 4x – 20 là mẫu thức chung của hai phân thức

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{{x^2} + 3x - 10}} = \frac{{1\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{x + 2}}{{{x^3} + 5{x^2} - 4x - 20}}\\\frac{x}{{{x^2} + 7x + 10}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {{x^2} + 7x + 10} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{x^3} + 5{x^2} - 4x - 20}}\end{array}\)

 Bài 2. Quy đồng mẫu thức các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{25}}{{14{x^2}y}},\frac{{14}}{{21x{y^5}}}\\b.\frac{{11}}{{102{x^4}y}},\frac{3}{{34x{y^3}}}\\c.\frac{{3x + 1}}{{12x{y^4}}},\frac{{y - 2}}{{9{x^2}{y^3}}}\\d.\frac{1}{{6{x^3}{y^2}}},\frac{{x + 1}}{{9{x^2}{y^4}}},\frac{{x - 1}}{{4x{y^3}}}\\e.\frac{{3 + 2x}}{{10{x^4}y}},\frac{5}{{8{x^2}{y^2}}},\frac{2}{{3x{y^5}}}\\f.\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}},\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}}\\g.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}},\frac{{x - 2}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\\h.\frac{5}{{3{x^3} - 12x}},\frac{3}{{\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right)}}\end{array}\)

Giải

\(\begin{array}{l}a.\frac{{14}}{{21x{y^5}}} = \frac{2}{{3x{y^5}}} = \frac{{2.14x}}{{3x{y^5}.14x}} = \frac{{28x}}{{42{x^2}{y^5}}};\frac{{25}}{{14{x^2}y}} = \frac{{25.3{y^4}}}{{14{x^2}y.3{y^4}}} = \frac{{75{y^4}}}{{42{x^2}{y^5}}}\\b.\frac{{11}}{{102{x^4}y}} = \frac{{11.{y^2}}}{{102{x^4}y.{y^2}}} = \frac{{11{y^2}}}{{102{x^4}{y^3}}};\frac{3}{{34x{y^3}}} = \frac{{3.3{x^3}}}{{34x{y^3}.3{x^3}}} = \frac{{9{x^3}}}{{102{x^4}{y^3}}}\\c.\frac{{3x + 1}}{{12x{y^4}}} = \frac{{\left( {3x + 1} \right).3x}}{{12x{y^4}.3x}} = \frac{{9{x^2} + 3x}}{{36{x^2}{y^4}}};\frac{{y - 2}}{{9{x^2}{y^3}}} = \frac{{\left( {y - 2} \right).4y}}{{9{x^2}{y^3}.4y}} = \frac{{4{y^2} - 8y}}{{36{x^2}{y^4}}}\\d.\frac{1}{{6{x^3}{y^2}}} = \frac{{1.6{y^2}}}{{6{x^3}{y^2}.6{y^2}}} = \frac{{6{y^2}}}{{36{x^3}{y^4}}};\frac{{x + 1}}{{9{x^2}{y^4}}} = \frac{{\left( {x + 1} \right).4x}}{{9{x^2}{y^4}.4x}} = \frac{{4{x^2} + 4x}}{{36{x^3}{y^4}}};\frac{{x - 1}}{{4x{y^3}}} = \frac{{\left( {x - 1} \right).9{x^2}y}}{{4x{y^3}.9{x^2}y}} = \frac{{9{x^3}y - 9{x^2}y}}{{36{x^3}{y^4}}}\\e.\frac{{3 + 2x}}{{10{x^4}y}} = \frac{{\left( {3 + 2x} \right).12{y^4}}}{{10{x^4}y.12{y^4}}} = \frac{{36{y^4} + 24x{y^4}}}{{120{x^4}{y^5}}};\\\frac{5}{{8{x^2}{y^2}}} = \frac{{5.15{x^2}{y^3}}}{{8{x^2}{y^2}.15{x^2}{y^3}}} = \frac{{75{x^2}{y^3}}}{{120{x^4}{y^5}}};\\\frac{2}{{3x{y^5}}} = \frac{{2.40{x^3}}}{{3x{y^5}.40{x^3}}} = \frac{{80{x^3}}}{{120{x^4}{y^5}}}\\f.\frac{{4x - 4}}{{2x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{2\left( {x - 1} \right).3\left( {x + 1} \right)}}{{x\left( {x + 3} \right).3\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{6\left( {{x^2} - 1} \right)}}{{3x\left( {x + 3} \right)\left( {x + 1} \right)}};\\\frac{{x - 3}}{{3x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{3x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{{x^2} - 9}}{{3x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}}\\g.\frac{{2x}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = \frac{{2x.2x}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}} = \frac{{4{x^2}}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}};\frac{{x - 2}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{{\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^2}\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{2x{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\\h.3{x^3} - 12x = 3x\left( {{x^2} - 4} \right) = 3x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\\\left( {2x + 4} \right)\left( {x + 3} \right) = 2\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\MTC = 6x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\\\frac{5}{{3{x^3} - 12x}} = \frac{5}{{3x(x - 2)(x + 2)}} = \frac{{5.2.(x + 3)}}{{3x(x - 2)(x + 2).2.(x + 3)}} = \frac{{10(x + 3)}}{{6x(x - 2)(x + 2)(x + 3)}}\\\frac{3}{{(2x + 4)(x + 3)}} = \frac{3}{{2(x + 2)(x + 3)}} = \frac{{3.3x.(x - 2)}}{{2(x + 2)(x + 3).3x(x - 2)}} = \frac{{9x(x - 2)}}{{6x(x + 2)(x - 2)(x + 3)}}\end{array}\)

 Bài 3. Quy đồng mẫu thức các phân thức:

\(\begin{array}{l}a.\frac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}},\frac{{5 - 3x}}{{{x^2} - 9}}\\b.\frac{{x + 1}}{{x - {x^2}}},\frac{{x + 2}}{{2 - 4x + 2{x^2}}}\\c.\frac{{4{x^2} - 3x + 5}}{{{x^3} - 1}},\frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}},\frac{6}{{x - 1}}\\d.\frac{7}{{5x}},\frac{4}{{x - 2y}},\frac{{x - y}}{{8{y^2} - 2{x^2}}}\\e.\frac{{5{x^2}}}{{{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}},\frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 4}},\frac{3}{{2x + 4}}\end{array}\)

Giải:

\(\begin{array}{l}a.MTC:2x\left( {x + 3} \right)\left( {x - 3} \right)\\\frac{{7x - 1}}{{2{x^2} + 6x}} = \frac{{7x - 1}}{{2x(x + 3)}} = \frac{{(7x - 1)(x - 3)}}{{2x(x + 3)(x - 3)}}\\\frac{{5 - 3x}}{{{x^2} - 9}} = \frac{{5 - 3x}}{{(x + 3)(x - 3)}} = \frac{{2x(5 - 3x)}}{{2x(x + 3)(x - 3)}}\\b.MTC:2x{\left( {1 - x} \right)^2}\\\frac{{x + 1}}{{x - {x^2}}} = \frac{{x + 1}}{{x(1 - x)}} = \frac{{(x + 1).2(1 - x)}}{{x(1 - x).2(1 - x)}} = \frac{{2{{(1 - x)}^2}}}{{2x{{(1 - x)}^2}}}\\\frac{{x + 2}}{{2 - 4x + 2{x^2}}} = \frac{{x + 2}}{{2{{(1 - x)}^2}}} = \frac{{(x + 2)x}}{{2x{{(1 - x)}^2}}}\\c.MTC:{x^3} - 1\\\frac{{2x}}{{{x^2} + x + 1}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{({x^2} + x + 1)(x - 1)}} = \frac{{2x(x - 1)}}{{{x^3} - 1}}\\\frac{6}{{x - 1}} = \frac{{6({x^2} + x + 1)}}{{(x - 1)({x^2} + x + 1)}} = \frac{{6({x^2} + x + 1)}}{{{x^3} - 1}}\\d.MTC:10x\left( {2y + x} \right)\left( {2y - x} \right)\\\frac{7}{{5x}} = \frac{{7.2.(2y + x)(2y - x)}}{{5x.2.(2y + x)(2y - x)}} = \frac{{14.(2y + x)(2y - x)}}{{10x.(2y + x)(2y - x)}}\\\frac{4}{{x - 2y}} = \frac{{ - 4}}{{2y - x}} = \frac{{ - 4.10.(2y + x)}}{{(2y - x).10x(2y + x)}} = \frac{{ - 40x(2y + x)}}{{10x(2y + x)(2y - x)}}\\\frac{{x - y}}{{8{y^2} - 2{x^2}}} = \frac{{x - y}}{{2(2y + x)(2y - x)}} = \frac{{(x - y).5x}}{{2(2y + x)(2y - x).5x}}\\ = \frac{{5x(x - y)}}{{10x(2y + x)(2y - x)}}\\e.MTC:2{\left( {x + 2} \right)^3}\\\frac{{5{x^2}}}{{{x^3} + 6{x^2} + 12x + 8}} = \frac{{5{x^2}}}{{{{(x + 2)}^3}}} = \frac{{5{x^2}.2}}{{{{(x + 2)}^3}.2}} = \frac{{10{x^2}}}{{2{{(x + x)}^3}}}\\\frac{{4x}}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{4x}}{{{{(x + 2)}^2}}} = \frac{{4x.2.(x + 2)}}{{{{(x + 2)}^2}.2(x + 2)}} = \frac{{8x(x + 2)}}{{2{{(x + 2)}^3}}}\\\frac{3}{{2x + 4}} = \frac{3}{{2(x + 2)}} = \frac{{3{{(x + 2)}^2}}}{{2(x + 2){{(x + 2)}^2}}} = \frac{{3{{(x + 2)}^2}}}{{x{{(x + 2)}^3}}}\end{array}\)

Bài 4. Cho đa thức\(B = 2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30\) và hai phân thức \(\frac{x}{{2{x^2} + 7x - 15}};\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x - 10}}\).

a. Chia đa thức B lần lượt cho các mẫu thức của hai phân thức đã cho.

b. Quy đồng mẫu thức của hai phân thức đã cho.

Giải: 

\(\begin{array}{l}b.MTC = 2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30\\\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{x}{{2{x^2} + 7x - 15}} = \frac{{x\left( {x - 2} \right)}}{{\left( {2{x^2} + 7x - 15} \right)\left( {x - 2} \right)}} = \frac{{{x^2} - 2x}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30}}}\\{}&{\frac{{x + 2}}{{{x^2} + 3x - 10}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} + 3x - 10} \right)\left( {2x - 3} \right)}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{2{x^3} + 3{x^2} - 29x + 30}}}\end{array}\end{array}\)

Bài 5. Cho hai phân thức \(\frac{1}{{{x^2} - 4x - 5}};\frac{2}{{{x^2} - 2x - 3}}\)

Chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức x³ – 7x² + 7x + 15 làm mẫu thức chung để quy đồng mẫu thức hai phân thức đã cho. Hãy quy đồng mẫu thức.

Giải:       

\( \Rightarrow {x^3} - 7{x^2} + 7x + 15 = \left( {{x^2} - 4x - 5} \right)\left( {x - 3} \right)\)    

\( \Rightarrow {x^3} - 7{x^2} + 7x + 15 = \left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)\)

\(\begin{array}{*{20}{c}}{}&{\frac{1}{{{x^2} - 4x - 5}}}\\{}&{ = \frac{{1.\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {{x^2} - 4x - 5} \right).\left( {x - 3} \right)}}}\\{}&{ = \frac{{x - 3}}{{{x^3} - 7{x^2} + 7x + 15}}}\\{}&{\frac{2}{{{x^2} - 2x - 3}} = \frac{{2.\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {{x^2} - 2x - 3} \right)\left( {x - 5} \right)}}}\\{}&{\;\; = \frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{{x^3} - 7{x^2} + 7x + 15}}}\end{array}\)