Bài giảng: Các bài toán về vectơ - Thầy Nguyễn Công Nguyên

I. Các khái niệm

1) Định nghĩa

2) Hai vectơ cùng phương: \(\overrightarrow a //\overrightarrow b  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}gia\,\,\overrightarrow a //gia\,\,\overrightarrow b \\gia\,\,\overrightarrow a  \equiv gia\,\,\overrightarrow b \end{array} \right.\)

3) Hai vectơ bằng nhau: \(\overrightarrow a  = \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  \nearrow  \nearrow \overrightarrow b \\\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\end{array} \right.\)

4) Hai vectơ đối: \(\overrightarrow a  =  - \overrightarrow b  \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow a  \nearrow  \swarrow \overrightarrow b \\\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right|\end{array} \right.\)

III. Các bài toán về vectơ

1) Cộng

* Quy tắc ba điểm: A, B, C bất kì.

* Mở rộng: \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BC}  + \overrightarrow {CD}  + \overrightarrow {DE}  = \overrightarrow {AE} \)

* Chú ý: \(\overrightarrow a  + \left( { - \overrightarrow a } \right) = \overrightarrow 0 \)

2) Quy tắc hình bình hành

3) Nhận vectơ với số \(k \ne 0\)

4) Tích vô hướng của 2 vectơ

*  

* \(\overrightarrow a  \bot \overrightarrow b  \Leftrightarrow \overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0\)

IV. Các dạng toán về vectơ

1) Dạng 1: Chứng minh hệ thức vectơ

* Phương pháp 1:

* Phương pháp 2: Chứng minh \(\left. \begin{array}{l}VT = P\\VP = P\end{array} \right\} \Rightarrow VT = VP\)

* Công thức:

1. \(\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow 0 \)

2. \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB} \)

3. Quy tắc hình bình hành.

V. Bài tập

Bài 2: \(\Delta ABC\) có 3 trung tuyến AM, BN, CP. Chưng minh \(\overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {BN}  + \overrightarrow {CP}  = \overrightarrow 0 \)

Giải:

Bài 3: Cho tam giác ABC và điểm M bất kì. G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MC}  = 3\overrightarrow {MG} \)

Giải:

* G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  = \overrightarrow 0 \)

* Ta có

\[\begin{array}{l}\overrightarrow {MA}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GA} \,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GB} \,\,\,\left( 2 \right)\\\overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MG}  + \overrightarrow {GC} \,\,\,\left( 3 \right)\\\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow VT = 3\overrightarrow {MG}  + \underbrace {\left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)}_{\overrightarrow 0 } = VP\end{array}\]

Bài 4: Cho tam giác ABC và A’B’C’ có trọng tâm lần lượt là G và G’. Chứng minh \(\overrightarrow {AA'}  + \overrightarrow {BB'}  + \overrightarrow {CC'}  = 3\overrightarrow {GG'} \)

Giải:

* Ta có:

\(\begin{array}{l}\overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'A'} \,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {BG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'B'} \,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {CG}  + \overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow {G'C'} \,\,\,\,\,\,\left( 3 \right)\\\left( 1 \right) + \left( 2 \right) + \left( 3 \right) \Rightarrow VT = 3\overrightarrow {GG'}  + \left( {\overrightarrow {G'A'}  + \overrightarrow {G'B'}  + \overrightarrow {G'C'} } \right) - \left( {\overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3\overrightarrow {GG'}  + \overrightarrow 0  - \overrightarrow 0  = 3\overrightarrow {GG'} \end{array}\)

Bài 5: Tứ giác ABCD có M, N là trung điểm của AB, CD. O là trung điểm MN. Chứng minh :

a) \(\overrightarrow {OA}  + \overrightarrow {OB}  + \overrightarrow {OC}  + \overrightarrow {OD}  = \overrightarrow 0 \)

b) I là điểm tùy ý. Chứng minh \(\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  + \overrightarrow {ID}  = 4\overrightarrow {IO} \)

Giải:

Bài 6 : Cho tam giác ABC, M, N, P là trung điểm của AB, BC, CA. Chứng minh \(\Delta MNP\) và \(\Delta ABC\) có cùng trọng tâm G.

Học sinh tự giải.